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《banach空间中优化问题最优性条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、高校应用数学学报!辑!--./0123/4/5367898:76;/<8=/!"##"$%&’"()""*+"",>171?3空间中优化问题的最优性条件张秀芳$王冬’佛山科学技术学院数学系$广东佛山*"@###(摘要)首先在5A7267B872切锥意义下界定了>171?3空间中非空集合的伪切锥和伪凸性的概念$并讨论了相应的性质C然后针对可微优化问题$在广义凸性假设下$建立了最优性条件D关键词)5A7267B872切锥C伪切锥C伪凸集合C伪凸函数中图分类号)E""F文献标识码)!文章编号)%###+FF"F’"##"(#"+#""*+#*G%预备知识设H是>171?3空间$HI表示H的
2、对偶空间J令KLH是非空子集$且记KM为K的闭包$?AK为K的凸包C且设NLH是非空锥J定义O/OP%Q令NRIIIR为锥N的对偶锥JSTUVH)WU$UXY#$ZUVN[$称N相应地$定义N的负对偶锥为NIIISTUVH)WU$UX]#$ZUVN[/引理O/OP%Q设N$N是凸锥$则%$N"LHRRM’6(’N(SNCMMRRR’66(’N%^N"(SN%RN"CRRR’666(若N%$N"LH是闭凸锥$则’66(式成为’N%^N"(SN%RN"CRR’6;(若N%LN"$则N"LN%J定义O/_P"Q设U‘VK$向量UVK称为集合K在点U‘处的5A7267B872切向量’a+切
3、向量($如果存在TUbb‘b[LK和cbd#$满足UeU’bef(及cbe#’bef($且使得URcbUVK对所有的b成立J集合K在点U‘处的所有a+切向量的集合记为a’K$U‘($称其为集合K在点U‘处的5A7267B872切锥’a+切锥(J引理O/_P"Q‘‘‘a’K$U(是锥$当K是凸集时$a’K$U(是闭凸锥$且ZUVK$有’UU(V‘a’K$U(/定义O/ga’K$U‘(的闭凸包记为h’K$U‘($即h’K$U‘(S?Aa’K$U‘($称h’K$U‘(为集合万方数据收稿日期)"##%+#%+%*高校应用数学学报d辑第;e卷第=期==c#处的伪切锥!在点"$定义%&’设"#
4、(!)如果*"+"#,(-*!)"#,)."(!)则称集合!在点"#处是伪凸的$关于/0切锥与伪切锥)有下面的结论$设1是下标集*未必有限,)"#(!记234)2(1&8!567!2)!69!2&2(12(1引理%&:*;,/*!5)#",37/*!2)#",<-*!5)#",37-*!2)#",<2(12(1#8##8#*=,9/*!2)",3/*!)",<9-*!2)",3-*!)",&2(12(1证*;,设"(/*!#@@5)",)由定义;>=)存在?"A3!5和B@C5满足"D"*@DE,及B@D#@#5*@DE,)且使得"FB@"(!53!2*2(1,)对所有@&这说明"(
5、/*!2)",*2(1,)因此"(#7/*!2)",&2(1由-*!5)#",的定义)显然有-*!5)#",37-*!2)#",$2(1##*=,设"(9/*!2)",)则至少存在某个25(1)使"(/*!2)",&于是由定义;>=知)存在52(1@8和@?"A3!23!B@C5)满足"D"*@DE,及B@D5*@DE,)且使得5#@8"FB@"(!23!)对所有@&5再由定义;>=即知)"(/*!8)"#,&包含关系9-*!#,3-*!8)#",也是显然的$2)"2(1由定义;>G及引理;>H易给出下面引理$引理%&’若!在点"#处是伪凸的)则!8在点"#处也是伪凸的$2*2(1,
6、引理%&I若!是凸集)则!在点"#处是伪凸的$证若集合!是凸的)则由引理;>=知/*!)"#,6-*!)"#,)从而对."(!有*"+"#,(##处是伪凸-*!)",)故!在"$至此可以看到集合的伪凸性确实比凸性广泛$J=优化问题的最优性条件依据K;L中的定义)先给出MNONPQ空间中R0可微函数和伪凸函数的概念$定义S>%设4是MNONPQ空间)函数TU4DV$如果存在W(X*4)V,使得在点"#附近有T*"#FB,+T*"#,6WBFY*ZBZ,)则称函数T在点"#处是R0可微的)此时称W为函数T在点"#处的R0导数)记作T[*"#,)即W6T[*"#,$于是有WB6T[*"#,
7、B)此式也常记为双线性形式T[*"#,)B]&定义S&S设4是MNONPQ空间)函数TU4DV&如果函数T在点"#处是R0可微的)且满足###T[*",)"+"]^5_T*",^T*",)."(!)则称函数T在点"#处是伪凸的$考虑如下优化问题*‘5,UabOT*",&*‘5,万方数据"(!其中TU4DV是实值函数)4是MNONPQ空间)!34是非空凸子集)"#(!)且T在点"#处是张秀芳等SVWNWXY空间中优化问题的最优性条件JJk!"可微的#定理
