约束最优化问题的最优性条件.ppt

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1、理论部分约束最优性条件等式约束问题一阶必要条件定理1:若(1)是等式约束问题的局部最优解；(2)与在的某邻域内连续可微；(3)线性无关；则存在一组不全为零的实数使得：二阶充分条件定理2:对等式约束问题，若：(1)与是二阶连续可微函数；(2)与使：(3)且且均有则是等式约束问题的严格局部极小点．不等式约束问题定义1:有效约束：若(2)中的一个可行点使得某个不等式约束变成等式，即则称为关于的有效约束．非有效约束：若对则称为关于的非有效约束．有效集：定义2:锥：的子集，如果它关于正的数乘运算是封闭的．如果锥也是凸集，则称为凸锥．凸锥关于加法和正的数乘运算是封闭的．定理3:在(2)中，假设

2、：(1)为(2)的局部最优解且(2)与在点可微；(3)在点连续；则与交为空．例1：确定：在点处的可行下降方向.解：设一阶必要条件定理4:(Fritz-John一阶必要条件)(1948)设为问题(2)的局部最优解且在点可微，则存在非零向量使得：例2：验证是否满足Fritz-John条件：验证处Fritz-John条件是否成立？解：取总有成立一阶必要条件定理5:(Kuhn-Tucker一阶必要条件)(1951)设为问题(2)的局部最优解,在点可微，对于的线性无关，则存在非零向量使得：例3：验证是否满足Kuhn-Tucker条件：验证处kuhn-Tucker条件是否成立？解：对所以不是K

3、T点．原因是线性相关．一般约束问题一阶必要条件定理6:(Kuhn-Tucker一阶必要条件)设为问题(3)的局部最优解,在点可微，对于的线性无关，则存在非零向量使得：例4：验证是否满足Kuhn-Tucker条件：试验证最优点为KT点．解：令所以即：所以：是KT点．二阶必要条件定理7:设是(3)的最优解且函数与是二阶连续可微函数.又设约束规范条件在点成立，从而存在使KT条件成立．如果严格互补松弛条件在成立，则：对一切满足的方向均成立．二阶充分条件定理8:设(3)的函数与是二阶连续可微函数.又设约束规范条件在点成立，若存在使KT条件成立．如果严格互补松弛条件在成立，且对所有满足的非零向

4、量有：则是问题(3)的一个严格局部最优解．