3不等式约束最优化问题最优性条件

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1、不等式约束最优化问题的最优性条件不等式约束最优化问题不等式约束最优化问题的最优性条件定义闭包：Closure可行方向：可行方向锥：S在点处的可行方向锥Feasibledirectioncone注:当时,S在处的可行方向锥是全空间Rn.不等式约束最优化问题的最优性条件定义下降方向(descentdirection)：下降方向锥：f在点处的下降方向锥不等式约束最优化问题的最优性条件可行方向锥与下降方向锥的几何解释在极小点处，任何下降方向都不是可行方向，而任何可行方向也不是下降方向，即，不存在可行下降方向.SF0D有效约束：非有效约

2、束：有效集：不等式约束最优化问题的最优性条件定义设(3.3.1)中的一个可行点满足为在处的有效约束或紧约束．则称约束ActiveConstraint若有则为在处的非有效约束或松约束．称inactiveConstraint在可行点处的有效约束的指标集：有效约束与非有效约束---几何解释不等式约束最优化问题的最优性条件Sg2(x)=0g1(x)=0g3(x)=0(1)在点处,g1(x)≥0和g2(x)≥0是有效约束；g3(x)≥0是非有效约束.(2)的非有效约束g3(x)≥0对处的可行方向没有影响，故非有效约束也称为不起作用的约束.

3、定理3.3.1:考虑约束最优化问题几何最优性条件—一阶必要条件不等式约束最优化问题的最优性条件定理3.3.2:在问题(3.3.1)中，假设：(1)为局部最优解且(2)与在点可微；(3)在点连续；则几何最优性条件—一阶必要条件不等式约束最优化问题的最优性条件仅考虑在某点起作用的约束例1：确定：在点处的可行下降方向.解：不等式约束最优化问题的最优性条件几何最优性条件—一阶必要条件设不等式约束最优化问题的最优性条件几何最优性条件—一阶必要条件不等式约束最优化问题的最优性条件几何最优性条件直观,但难以在实际计算中应用.将几何最优性条件转化

4、为代数最优性条件.???几何最优性条件—一阶必要条件(1)FritzJohn条件(2)Kuhn-Tucker条件(1948)不等式约束最优化问题的最优性条件FritzJohn最优性条件—一阶必要条件定理3.3.3:设为问题(3.3.1)的局部最优解且在点可微，则存在非零使得：则存在非零的向量例2：验证处Fritz-John条件是否成立？解：取有FritzJohn最优性条件—一阶必要条件不等式约束最优化问题的最优性条件即该问题在x*处Fritz-John条件成立.FritzJohn最优性条件—一阶必要条件不等式约束最优化问题的最优性

5、条件注:(1)上例说明在FritzJohn条件中有可能λ0=0.此时，目标函数的梯度就会从FritzJohn中消失,即FritzJohn条件实际上不包含目标函数的任何信息，仅仅表明起作用约束函数的梯度线性相关，而这对表述最优点没有什么实际价值.(2)为了保证λ0>0,还需要对约束再加上一些限制条件．这种限制条件通常称为约束规格(ConstraintQualification)．一个自然的想法是附加线性无关的约束规格(当然还有许多其他的约束规格)，这样就得到了著名的Kuhn—Tuker条件.(1951)定理3.3.4设为(3.3.1

6、)局部最优解,在点可微，对于的线性无关，则存在非零向量使得：不等式约束最优化问题的最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶必要条件K-T条件互补松弛条件不等式约束最优化问题的最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶必要条件式(a)的几何意义:在局部极小点xk处,目标函数的梯度能表示成有效约束梯度的非负组合,即目标函数的梯度属于有效约束的梯度所生成的凸锥内.例3：验证处kuhn-Tucker条件是否成立？解：对所以不是K-T点．原因是线性相关．不等式约束最优化问题的最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶必要

7、条件定理3.3.5不等式约束最优化问题的最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶充分条件设在问题(3.3.1)中是凸函数,是可行点，且在处可微.若是(3.3.1)的K-T点,则是(3.3.1)的全局极小点.K-T条件对于约束问题的重要性在于：1）检验某点是否为约束最优点；2）检验一种搜索方法是否可行。例4：判断x(k)=[10]T是否为下列约束优化问题最优点：不等式约束最优化问题的最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶充分条件解：1）判断该点起作用约束：2）计算目标函数及有效约束在该点梯度：不等式约束最优化问题的

8、最优性条件Kuhn-Tucker最优性条件—一阶充分条件§5-1约束最优解及其必要条件3）代入K-T条件，求乘子：解得：因此该点是最优点.又该问题为凸规划,即该点是K-T点.