数模题目易拉罐的设计.ppt

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1、易拉罐的设计随着经济与科技的发展，人类生活水平大幅度提高。越来越多的人喜欢喝罐装饮料，如百事可乐，可口可乐，罐装啤酒等。对于商家来说，怎样设计饮料罐，使得制造用材最省？（一）单个罐身：问题分析：首先考虑单个饮料罐的用材，既考虑饮料罐本身的设计。由于在市场上的百事可乐，可口可乐，雪花啤酒，山城啤酒等同等大小的易拉罐上均标明了容积为355毫升。所以考虑易拉罐能容纳的体积是既定的，因此问题化为如何使所用面积最小。为了方便放置，可将易拉罐设计成长方体和圆柱体两种类型。模型假设：因为罐盖（上底）厚度为罐底（下底）

2、厚度的三倍，所以假设罐盖（上底）为三片与罐底（下底）同厚度的材料重叠而成。对于长方体型，有假设：长为a，宽为b，高为h，容积为v;对于圆柱体型，有假设：半径为r，高为h，容积为v;模型建立：长方体型：v=abh;所以有h=v/(ab)s=4ab+2ah+2bh=4ab+2v/b+2v/a圆柱体型：模型求解：对长方体型，当s最小时有：即a=b,解得对圆柱体型，当s最小时有：解得①由两者对比可知，圆柱体型面积（）比长方体型面积（）小,所以选用圆柱体型。又已知容积为355毫升，代入①式中得结果分析：由①知，半

3、径和柱体的高均和容积的1/3次方成正比，随容积的增加而增加，随容积的减少而减少。且高是半径的四倍,由于对Π的近似计算,使得理论结果中h比r的4倍少0.02厘米.模型检验：市面上的饮料罐模型均为圆柱体，证明圆柱体节约了材料。实际测得该种易拉罐的高为12.10cm，与理论结果12.18cm相差甚微，误差为0.66%.说明圆柱体模型正确可靠.（二）多个罐身其次，考虑整个生产线中材料的节省问题。由以上的计算得到了单个饮料罐的最佳半径和柱体的高，为了便于下面的计算，将半径简化为3厘米，将高简化为12厘米，采用线性

4、规划模型来估计。假设某公司采用一套冲压设备生产该大小类型的易拉罐。这种易拉罐用镀锡板冲压制成。易拉罐为圆柱体型，包括罐身，罐盖，罐底，罐身高为12厘米，罐盖和罐底的半径为3厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料：规格1的镀锡板为长方形，长、宽分别为32厘米和28厘米；规格2的镀锡板为正方形，边长为25厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀锡板只可以按下图1，2，3，4，5，五种模式冲压，对于规格2的镀锡板只可以按下图的6，7，8，三种模式冲压。每周可供使用的规格1、规格2的镀锡板原料分别为

5、2万张和5万张。12347856模型分析：已知半径和柱高，可得罐盖（底）的面积，罐身面积为。于是各种模式下的用料归纳如下表：模式罐身个数底、盖个数用料面积（cm²）余料面积（cm²）128678.8217.2228678.8217.23114622.4273.64020565.5330.5532735.2160.86110509.2115.8724565.659.4806452.8172.2观察上表可知，模式1、模式2、模式3、模式4的余料面积太多（>200cm²）,造成了资源的较大浪费，与节省材料的要

6、求不符，舍去不用。因此选择模式5、模式6、模式7、模式8进行冲压。模型建立：决策变量：用xi表示按照第5、6、7、8四种模式的冲压次数（I=1,2,3,4），由于生产量相当大，可以把xi看成是实数，从而用线性规划模型来处理。决策目标：要使所剩余料面积最小，即最大限度的使用材料，用料面积最大。于是有：Max（1）约束条件：原料约束：每周可以使用的规格1的镀锡板为2万张，规格2的镀锡板为5万张，即（2）配套约束：罐盖厚度为罐底厚度的三倍，所以设罐盖为3个罐底重合而成。则一个罐身与四个罐底配套，即（3）模型求

7、解：将模型（1）~（3）输入LINDO，程序如下：Max735x1+509x2+565.6x3+452.8x4STx1<=20000x2+x3+x4<=5000010x1-6x2+4x3-16x4<=0endgin4求解得到：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.4072400E+08VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120000.000000-735.000000X20.000000-509.000000X330000.000000-565.599976X420000.0

8、00000-452.799988结果分析：即模式5使用2万次，模式6不使用，模式7使用3万次，模式8使用2万次。同时再考虑如何使得使用的镀锡板张数最多，有：决策目标：所使用的总张数最多，即maxx1+x2+x3+x4约束条件：原料约束与配套约束同上，但总张数不超过7万张，即x1+x2+x3+x4=70000输入LINDO有程序如下：maxx1+x2+x3+x4STx1<=20000x2+x3+x4<=50000x1+x2+x3+x4=700