幂函数及其性质教案.doc

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1、幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.【思考】幂函数与指数函数有何不同？本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．【例】1.下列函数：①；②；③；④，其中幂函数的个数为（）2.若函数是幂函数，则实数k的值是（）3.已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式是？4.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为？二、函数的图像和性质（1）（2）（3）（4）（5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，

2、可以看出：定义域奇偶性单调性定点（公共点）【例】已知幂函数f(x)的图像过点，幂函数g（x）的图像过点，（1）求f(x)，g（x）的解析式；（2）当x为何值时：①f(x)>g（x）；②f(x)=g（x）；③f(x)

3、）单调性：①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；②时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数③时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（2）奇偶性:幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断。【例】已知莫函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的a的范围。【变式】例题题干不变，（1）求函数f（x）；（2）讨论的奇偶性【归纳小结】解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．三．两类基本

4、函数的归纳比较：①定义对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；过点（1，0），即当=1，=0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）时，幂函数的图象都通过原点；在[0，+∞]上，、、、是增函数；在（0，+∞）上，是减函数。【例题选讲】例1．已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函

5、数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；【变式训练】已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2．比较大小：（1）（2）（3）（4）例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．例4、设函数f（x）＝x3，　　（1）求它的反函数；　　（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．　　点评

6、：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）　A．{x

7、x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2）5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　）　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1）C．（0，1）　　　　D．［0，1］6．函数y＝的单调递减区间为（　　）　　A．（－∞，1）　　　　B．（

8、－∞，0）C．［0，＋∞］　　D．（－∞，＋∞）7．若a＜a，则a的取值范围是（　　）　A．a≥1　　　　　B．a＞0C．1＞a＞0　　　　　D．1≥a≥08．函数y＝的定义域是。9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．11、比较下列各组中两个数的大小：　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；