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时间:2020-04-07
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1、.幂函数的图像与性质一:核心梳理、茅塞顿开1.根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根n为奇数n为偶数(2).两个重要公式①;②(注意必须使有意义)。2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:;②正数的负分数指数幂:③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。(2)
2、有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);...例2(1)计算:;(2)化简:变式:(2007执信A)化简下列各式(其中各字母均为正数):(1)(2)(3)(三)幂函数1、幂函数的定义形如y=xα(a∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。例题、(1).下列函数中不是幂函数的是(
3、)A. B. C. D.答案:C例2.已知函数,当为何值时,:(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数;简解:(1)或(2)(3)(4)(5)变式训练:已知函数,当为何值时,在第一象限内它的图像是上升曲线。简解:解得:小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。..4.幂函数的图像幂函数y=xα的图象由于α的值不同而不同.α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0,图象不过原点,在第一象限的图
4、象下降,反之也成立;注:在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x,,y=x-1方法:可画出x=x0;当x0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3,y=x2,y=x,,y=x-1;当05、小:(1)(2)(3)(4)解:(1)∵在上是增函数,,∴(2)∵在上是增函数,,∴(3)∵在上是减函数,,∴;∵是增函数,,∴;综上,(4)∵,,,∴5.幂函数的性质及其应用幂函数y=xα有下列性质:(1)单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减.(2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断.例3.已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.解:∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,∴,∴6、;∵,∴,又函数图象关于原点对称,∴是奇数,∴或.例7.已知点在幂函数的图象上,点,在幂函数的图象上.问当x为何值时有:(1);(2);(3).变式:已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=a的奇偶性...6.规律方法(1).幂函数y=xα(α=0,1)的图象(2).幂函数的图象例1.概念:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数;注意:幂函数与指数函数的区别.2.性质:(1)幂函数的图象都过点;任何幂函数7、都不过象限;..(2)当时,幂函数在上;当时,幂函数在上;(3)当时,幂函数是;当时,幂函数是.xOy例1、右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是()解:取,由图像可知:,,应选.综合训练:1.在函数中,幂函数的个数为()A.0B.1C.2D.32、幂函数的图象都经过点()A.(1,1)B.(0,1)C.(0,0)D.(1,0)3、幂函数的定义域为()A.(0,+¥)B.[0,+¥)C.RD.(-¥,0)U(0,+¥)4.若幂函数在上是增函数,则()A.>0B.<0C.=0D.不能确定6.若幂函数在8、(0,+∞)上是减函数,则()A.>1B.<1C.=lD.不能确定..9、若四个幂函数y=,y=,y=,y=在同一坐标系中的图象如右图,则a、b、c、d的大小关系是( )A、d>c>b>aB、a>b>c>dC、d>c>a>bD、a>b>d>c10、当x∈(1,+∞)时,函数)y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是A、a<1B、0<a<1C、a>0D、a<0二、填空题:12、若<,则a的取值范围是____;13.函数
5、小:(1)(2)(3)(4)解:(1)∵在上是增函数,,∴(2)∵在上是增函数,,∴(3)∵在上是减函数,,∴;∵是增函数,,∴;综上,(4)∵,,,∴5.幂函数的性质及其应用幂函数y=xα有下列性质:(1)单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减.(2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断.例3.已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.解:∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,∴,∴
6、;∵,∴,又函数图象关于原点对称,∴是奇数,∴或.例7.已知点在幂函数的图象上,点,在幂函数的图象上.问当x为何值时有:(1);(2);(3).变式:已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=a的奇偶性...6.规律方法(1).幂函数y=xα(α=0,1)的图象(2).幂函数的图象例1.概念:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数;注意:幂函数与指数函数的区别.2.性质:(1)幂函数的图象都过点;任何幂函数
7、都不过象限;..(2)当时,幂函数在上;当时,幂函数在上;(3)当时,幂函数是;当时,幂函数是.xOy例1、右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是()解:取,由图像可知:,,应选.综合训练:1.在函数中,幂函数的个数为()A.0B.1C.2D.32、幂函数的图象都经过点()A.(1,1)B.(0,1)C.(0,0)D.(1,0)3、幂函数的定义域为()A.(0,+¥)B.[0,+¥)C.RD.(-¥,0)U(0,+¥)4.若幂函数在上是增函数,则()A.>0B.<0C.=0D.不能确定6.若幂函数在
8、(0,+∞)上是减函数,则()A.>1B.<1C.=lD.不能确定..9、若四个幂函数y=,y=,y=,y=在同一坐标系中的图象如右图,则a、b、c、d的大小关系是( )A、d>c>b>aB、a>b>c>dC、d>c>a>bD、a>b>d>c10、当x∈(1,+∞)时,函数)y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是A、a<1B、0<a<1C、a>0D、a<0二、填空题:12、若<,则a的取值范围是____;13.函数
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