幂函数的性质与图象

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1、幂函数的性质与图象问题引入(1)如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数(2)如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;(3)如果正方体的边长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ函数;(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.我们先看几个具体问题:１：以上各题目的函数关系分别是什么？２：以上问题中的函数具有什么共同特征？一、幂函数的定义一般地，函数

2、y=xＫ叫做幂函数，其中x是自变量，k是常数。(k∈Q)注意1、幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，　　　　　　　　　其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项．2、定义域与k的值有关系.例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=2x（4）y=1(5)y=x2+2(6)y=-x3答案:(1)(4)(1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称,∴为非奇非偶函数.于是即f(x1)>f(x2)0＜由不等式性质,得(2)单调性:设任意x1、x2∈(0,+∞),且0＜x1＜x2,所以　在（0，+∞）上

3、是减函数例2研究幂函数　　　　的定义域、奇偶性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　和单调性，并作出图象解:它的定义域是（０，+∞）x1/41/21234y21.410.70.60.5探究与发现例3：讨论函数的定义域、奇偶性,作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。定义域:(－∞,+∞)奇偶性:偶函数x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34探究与发现例２：讨论函数的定义域，作

4、出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。在上是增函数定义域：在上是减函数值域：奇偶性：偶函数单调性：作出下列函数的图象:x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\1……-1/3-1/2-111/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象

5、限内，当k>0时，图象随x增大而上升。当k<0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，当k>0时，图象随x增大而上升。当k<0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）K>0时,图象还都过点(0,0)点幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异.３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;K<0２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1

6、)并在(0,+∞)上为增函数;k>102.7-2/5练习1）2）3）4

7、）＜＜＞≤XyXy第一象限k<0时k>0时双曲线型０＜ｋ＜１开口　　　　向右抛物线型OOk<0画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象K=0,直线型ｋ＞１开口向上型抛物线K=1练习:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11y(A)(B)(I)(C)X(G)(H)(D)(J)(F)IGEBCAHJDF练

8、习XXXXXXXXXOOOOOOOOOOyyyyyyyy(E)y小结1、幂函数的定义及图象特征?2、幂函数的性质形如ｙ＝ｘｋ（ｋ∈Ｑ）的函数叫做幂函数．3、思想与方法在第一象限内ｋ＞０时图象呈上升趋势；ｋ＜０时图象呈下降趋势．过定点（１，１）k>100,在(0,+∞)上为增函数;k<0,在(0,