矩阵理论-第九讲.ppt

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1、矩阵理论-第九讲2004年1上节内容回顾矩阵的条件数定义矩阵条件数的工程背景矩阵的奇异值矩阵序列矩阵序列收敛的充分必要条件收敛矩阵矩阵级数矩阵级数的绝对收敛的充要条件绝对收敛收敛2矩阵的幂级数矩阵幂级数设，，称矩阵级数为矩阵A的幂级数方阵幂级数收敛的判别定理若复变数幂级数的收敛半径为r，而矩阵的谱半径为，则当时，方阵幂级数绝对收敛当时，方阵幂级数发散证明：1.，取，使得3矩阵的幂级数由于幂级数收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数绝对收敛2.由于，设，则当时，由Jordan定理，，使得4矩阵

2、的幂级数矩阵幂级数的对角线元素为由于发散，从而矩阵幂级数发散由于矩阵幂级数与具有相同的敛散性，可知也发散。推论设幂级数的收敛半径为r，。若使得，则矩阵幂级数绝对收敛5矩阵的幂级数举例判断矩阵幂级数的敛散性解：令>>eig(A)ans=0.8333-0.5000由于幂级数的收敛半径为r=1绝对收敛6矩阵的幂级数Neumann级数收敛充要条件设，称矩阵幂级数为Neumann级数收敛并且在此级数收敛时，其和为证明：充分性：幂级数的收敛半径为1必要性：若矩阵幂级数收敛，记，，则收敛收敛矩阵的充要条件7矩

3、阵的幂级数当收敛时，取可逆由于A是收敛矩阵8矩阵的幂级数举例设判断矩阵幂级数的敛散性，若收敛，求其和解：norm(A,1)ans=0.9000即，所以绝对收敛inv(eye(size(A))-A)ans=2.00001.00001.00003.14294.42863.00001.42861.78572.50009矩阵函数定义：矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数。收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩阵幂级数在矩阵与之间建立了一个映射：称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地

4、，以方阵为变量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。称S为A在映射f下的象，记作：10矩阵函数相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数的和分别记为下列矩阵函数11矩阵函数在矩阵分析中的应用许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组其它动态系统或受控系统LCR2R1u(t)iLiCmy(t)F(t)12矩阵函数在矩阵分析中的应用离散时间系统假设上述方程组的初始条件为或先考察u(t)=0时，的解，这时状态方程组简化为这相当于求系统的零输入响应当矩

5、阵A为数a时，其解为可以设想，当而时，的解含有，可以证明都是收敛的，因而其和是有意义的离散时间系统x(n)y(n)13矩阵函数在矩阵分析中的应用矩阵函数、及满足代数三角函数的性质Euler公式14矩阵函数在矩阵分析中的应用常用矩阵函数的性质设，且充要条件15矩阵函数在矩阵分析中的应用常用矩阵函数的性质设若，是A的特征值，则矩阵函数的特征值为由Jordan定理，，使得16矩阵函数在矩阵分析中的应用再设，可得如下矩阵幂级数收敛。由于即矩阵幂级数收敛，由于的对角线元素为所以，这些复数项幂级数收敛，且1

6、7矩阵函数在矩阵分析中的应用由于相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值为由此，的特征值为可逆18矩阵函数在矩阵分析中的应用需要注意的几点除非A为对角矩阵19矩阵函数在矩阵分析中的应用的求法举例利用Hamilton-Cayley定理已知求解：由Hamilton-Cayley定理20矩阵函数在矩阵分析中的应用的求法举例利用相似对角化若同理21矩阵函数在矩阵分析中的应用的求法举例利用Jordan标准形Jordan块的幂22矩阵函数在矩阵分析中的应用23矩阵函数在矩阵分析中的应用24矩阵函数在矩阵分析中

7、的应用25矩阵函数在矩阵分析中的应用26矩阵函数在矩阵分析中的应用已知求27矩阵函数在矩阵分析中的应用的求法举例利用矩阵多项式为计算利用多项式的带余除法，将表示为如下形式：由Hamilton-Cayley定理令因为所以28矩阵函数在矩阵分析中的应用已知求利用矩阵A的最小多项式，还可以进一步降低的次数，从而使待定的系数减少，进一步化简计算。29矩阵的微分和积分以函数为元素的矩阵——函数矩阵函数矩阵的微分和积分泛函数量函数对矩阵变量的导数向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数*******

8、***************************************************************函数矩阵的微分和积分定义以变量t的函数为元素的矩阵是定义在[a,b]上的，若在[a,b]上连续、可微、可积，若每个在[a,b]上连续、可微、可积3031