高等数学 预备知识 函数.doc

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1、第0章　预备知识函数新修订的《大纲》中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。　　[复习考试要求]　　1.理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。　　2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。　　3.了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。　　4.熟练掌握函

2、数的四则运算与复合运算。　　5.掌握基本初等函数的性质及其图像。　　6.了解初等函数的概念。　　7.会建立简单实际问题的函数关系式。　　[主要知识内容]　　一、函数的概念　　1.函数的定义　　（1）常量与变量　　常量：在观察某种自然现象或技术过程中，保持不变的量，或者是取固定数值的量。常量一般用字母a,b,c……表示。　　变量：在观察某种自然现象或技术过程中，变化着的量，或者是取不同数值的量。变量一般用字母x,y,z,……表示。　　（2）函数的定义设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x而变化，如果变

3、量x在非空实数集合D中取某一数值时，变量y依照某一对应规律f总有惟一确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记为　　y=f（x）　　（x∈D）　　其中x叫自变量，y叫因变量或函数。　　例如，收益函数y=ax（其中a表示价格）　　匀速直线运动S=S0+vt　　总成本函数（其中C0为固定成本，C1为单位可变成本）　　在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。　　定义域：在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围（变化区域）D，称为函数的定义域。记为D（f）。　　对应规律：自变量x在D上每取一数值时，函数y按照

4、某一确定的规律f，有确定的数值与之对应。　　当自变量x取某一定值a时，函数y=f（x）的对应值记为f（a），有时也记为y

5、x=a。　　值域：函数y的取值范围，称为函数的值域，记为Z（f）。　　例1.函数的定义两要素　　（1）下列各组函数中，两个函数相同的是　　A.　　B.　　C.　　D.　　【答疑编号11000101】　　[答]B.　　（2）[9501]下列各组函数中，两个函数相等的是　　A.　　B.　　C.　　D.　　【答疑编号11000102】　　[答]C。　　例2.求函数定义域　　（1）[9401]函数的

6、定义域是　　A.（0，5]B.（1，5]C.（1，5）D.（0，+∞）　　【答疑编号11000103】　　[答]B。　　　　（2）[9701]函数的定义域是　　A.（-∞，1]B.[4，+∞）　　C.（-∞，1]∪[4，+∞）D.（-∞，1）∪（4，+∞）　　【答疑编号11000104】　　[答]C。　　　　（3）[0001]函数的定义域是　　A.（-1，+∞）B.[-1，+∞）C.（1，+∞）D.[1，+∞）　　【答疑编号11000105】　　[答]C。　　　　例3.求函数值或进行函数式的变换　　（1）[96

7、11]设f（x）=3x+5，则f[f（x）-2]=_______。　　【答疑编号11000106】　　[答]9x+14　　解：f(x)-2=3x+5-2　　　　　　　=3x+3　　f[f(x)-2]=3(3x+3)+5　　　　　　=9x+14　　（2）设，则________。　　【答疑编号11000107】　　[答]　　　　（3）设f（x2+1）=x4+3x2+2，则f（x）=_______。　　【答疑编号11000108】　　[答]x2+x　　　　2.函数的表示法　　常用的函数表示法有三种：解析法（公式法）、

8、表格法、图示法。　　（1）解析法对自变量和常数施加四则运算、乘幂、指数运算、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式。用解析表达式表示一个函数就称为函数的解析法，也叫公式法。　　（2）表格法在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，函数的这种表示法称为表格法。　　（3）图示法设y=f（x）是一个给定的函数，定义域是D（f），由于自变量和函数都取实数值，因而我们可以在平面上取定一个直角坐标系Oxy，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的点表示函数值。于是，在D（f）内的

9、每一个x及相应的函数值f（x）就确定了该平面直角坐标系中的一个点p（x,y），当x在D（f）内变动时，点P在坐标平面上移动，一般便得到平面上的一条曲线，这就是用图示法表示函数。　　函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。　　3.函数的图像　　用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化