高等数学预备知识

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1、预备知识：函数变量、常量和函数现有相互联系的两个变量x和y，如果当x在其变域内任意取一数值时，y都有确定的值与之对应，则称y是x的函数。x叫做自变量，函数y又称作因变量，写作：y=f（x）若y为z的函数，y=f（z）；而z又是变量x的函数，即z=g（x），则称y为x的复合函数，记作y=f（z）=f[g（x)]微积分基础知识1.函数，导数与微分函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y相应的有一改变量△y=f(x+△x)-f(x)，那么当

2、△x趋于零时，若比值△y/△x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点x处导数，记作：这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。函数y=f(x)在x处的导数f’(x)等于曲线y=f(x)在点x处的切线的斜率，即：导数的几何意义：在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢量。注意：以下是易混淆的两个表示：和前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：后者：永远是函数对自变量的导数

3、。如对于函数y=y(x)，则若自变量有多个，则应该用偏导，　　是函数y=y(x,t)(同时又有x=x(t))对时间的偏导。（注意：　　　　　　　　，对于多元函数，一般　　　　　）。基本求导公式：(1)(C)=0，(2)(xm)=mxm-1，(3)(sinx)=cosx，(4)(cosx)=-sinx，(5)(tanx)=sec2x，(6)(cotx)=-csc2x，(7)(secx)=secxtanx，(8)(cscx)=-cscxcotx，(9)(ax)=axlna，(10)(ex)=ex，，函数的和、差、积、商的求导法则：(1)(uv)=uv，(

4、2)(Cu)=Cu(C是常数)，(3)(uv)=uv+uv，复合函数的求导法则：反函数求导法：求导法则复合函数的求导法则：解：函数y=lntanx是由y=lnu，u=tanx复合而成，例1y=lntanx，求dxdy。例2y=3xe，求dxdy。例3212sinxxy+=，求dxdy。函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数y’=f’(x)，这时函数的微分是：微分：若函数y=y(x)的改变量可表示为：式中dx=△x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分，记作：2.不定积分不定积分：对函数y=y(x)，如果在给定区间[a,b]上有则其逆运

5、算就是求G(x)的不定积分（即：求G(x)的原函数）：上式中可以看出：G(x)（被积函数）的原函数为y(x)+C，不止一个。其中，C为积分常数。3.定积分由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确定的。几何意义：由y=f(x)的函数曲线，初始条件表示的直线，x轴所围成的曲边梯形的面积。牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibnizformula）：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，或分段连续，则y=f(x)在[a,b]上有原函数，设F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则(定积分与不定积分的内在联系)基本积分表kxC(k是常数)，

6、arctanxC，arcsinxC，ln

7、x

8、C，sinxC，cosxC，基本积分表不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即例4例5arctanxln

9、x

10、C．例6例7例8