第1章 高等数学规划预备知识

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1、第1章预备知识§1.1基本概念与术语1.1.1数学规划问题举例例1食谱（配食）问题l假设市场上有n种不同的食物，第j种食物每个单位的销售价为。l人体在正常生命活动过程中需要m种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i种营养成分个单位。l第j种食物的每个单位包含第i种营养成分个单位。食谱（配食）问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下，寻找最经济的配食方案（食谱）。建立食谱的数学模型引入决策变量：食谱中第i种食物的单位数量s.t.例2选址与运输问题l假设某大型建筑公司有m个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为.l第i个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比

2、如水泥的日用量（单位：t）为）．l该公司准备分别在和两个地点建造临时料场，并且保证临时料场对材料的日储量（单位：t）分别为和．如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？建立选址与运输问题的数学模型引入决策变量：位置变量,从临时料场向各工地运送的材料数量.12s.t.例3生产计划问题l某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货台，第2季度末需要交货台，第3季度末需要交货台．l该企业最大生产能力是每季度生产b台.l若用x表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数来描述.l企业需为每台机器在每个季度多支付p元的存储费．l假

3、设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？建立生产计划的数学模型决策变量：用表示企业在第i个季度生产的机器数量．合同规定的总数量：每个季度生产数量要求：每个季度生产数量不大于最大生产能力b，不少于该季度末的交货量与该季度初的库存量之差.第j个季度初库存量：（=0）变量隐含要求：，并且取整数．企业总费用：所有季度生产与存储费用之和s.t.(Z表示所有整数的集合)1.1.2数学规划问题的模型与分类l形成一个最优化问题的数学模型12n首先需要辨识目标，确定优化标准，即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量

4、、利润、时间、能量等；n其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标函数，objectivefunction)；n此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函数，constraintfunctions)．l最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.s.t.满足约束条件的点称为可行点（feasiblepoint)，所有可行点的集合称为可行域（feasibleregion)，记为S.-当，无约束优化问题;否则,约束优化问题．-和都是线性函数，为线性规划（linearprogramming，LP);否则为非

5、线性规划（nonlinearprogramming,NLP）.-所有变量取整数，称为整数规划（integerprogramming);允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixedintegerprogramming,MIP）.-从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解,称为连续优化(continuousoptimization)问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorialoptimization)，或者离散优化（discreteoptimization）．-存在多个目标，即目标函数取一个向量值函数，称多目标规划（mult

6、i-objectiveprogramming)，或多目标优化．-最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministicoptimization）问题;否则称为非确定型优化（uncertainoptimization)问题，包括了随机规划（stochasticprogramming）、模糊规划（fuzzyprogramming)等特殊情形．1.1.3最优解的概念定义:设为目标函数，为可行域，，若对每个，成立，则称为在上的全局极小点。定义:设为目标函数，为可行域，若存在的邻域，使得对每个成立，则称为在上的局部极小点。l全局极小点也是局部极小点，而局部极小点不一定是全局极

7、小点.l大多数的优化算法通常只是寻找局部最优解.l对于某些特殊情形，如凸规划，局部极小点也是全局极小点.12§1.2多元函数分析1.2.1梯度及Hesse矩阵函数在x处的梯度为n维列向量：函数在x处的Hesse矩阵为矩阵：二次函数A是n阶对称矩阵，b是n维列向量，c是常数．梯度：Hesse矩阵:对向量值函数,每个分量为n元实值函数.h在点x的Jacobi矩阵为该矩阵称为h在x的导数,记作或,其中例向量值函数在任一点的Ja