厦门大学结构化学答案6.docx

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1、习题62.7计算Li2+Ψ1=1(y200+y210)和Ψ2=1(y200+y211+y211)所描述状态的能量E、23角动量L2的平均值Z2ˆ22解题要求：熟悉类氢离子的能级公式：En=-R,角动量平方Ljnlm=l(l+1)jnlm和求平n2=åi2n均值公式ˆ*ˆ，其中Y=åciji(已归一化),ˆ。A=òYAYdτciAiAji=Aijii=1解：对于类氢离子，y200,y210,y211,y211等轨道的波函数均满足正交归一，且主量子数相同，能量简并，其能级依公式E=-RZ2可表示为E=-9R。nn2n=24则对于波函数Y1和Y2有：òΨ*Ψdt=1ò(y+y)*

2、(y+y)dt=1211200210200210òΨ*Ψdt=1ò(y+y+y)*(y+y+y)dt=1322200211211200211211即这两个波函数均已归一化。（注：如波函数未归一化，则需要进行归一化！）这两个波函数所描述状态的能量分别为：ˆ19E1=òΨ1*HΨ1dt=2(En=2+En=2)=En=2=-4RE2=òΨˆ192*HΨ2dt=(En=2+En=2+En=2)=En=2=-R34ˆ22ˆ2利用Ljnlm=l(l+1)jnlm可知各轨道的L本征值分别为：ˆ2=0,ˆ22（m=0,+1,-1）L200L21m=2ˆ*ˆåi2因此由求平均值公式A=òY

3、AYdτ=ciAi可知：ˆ21òˆ2122L=Ψ1*LΨ1dτ=2(0+2)=ˆ2òˆ212242L2=Ψ2*LΨ2dτ=(0+2+2)=332.11证明l=1的Qlm(q)函数相互正交。证明：l=1时，m=0or±1，有如下两个函数Q(q)=6cosq，Q(q)=3sinq1021±12Þò0pQ1±1(q)Q10(q)dq=342ò0pcosqsinqdq=382ò0psin2qdq=0即l=1时两个Θlm(θ)函数相互正交。2.12试证明球谐函数Y10、Y21、Y32是方程-i¶¶jYlm(q,f)=mYlm(q,f)的本征函数。证明：(1)Y=3cosq104p-

4、i¶Y=-i¶(3cosq)=0=0×Y¶j¶j4p1010即Y10是方程-i¶¶jYlm(q,f)=mYlm(q,f)的本征函数，对应的本征值m为0.(2)Y21=815psinqcosqeif,则有-i¶Y=-i¶(-15sinqcosqeif)=i215sinqcosqeif=-15sinqcosqeif=Y¶j8p¶j218p8p21因而Y21是方程-i¶¶jYlm(q,f)=mYlm(q,f)的本征函数，本征值为1.(3)Y32=32105psin2qcosqei2f，有则-i¶¶jY32=-i¶¶j(32105psin2qcosqeif2)=-2i2105sin

5、2qcosqei2f=2105sin2qcosqei2f=2Y32p32p32所以方程-i¶¶jYlm(q,f)=mYlm(q,f)的本征函数，本征值为2.