第五章线性方程组迭代解法 51 基本迭代方法.docx

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1、第五章线性方程组迭代解法5.1基本迭代方法5.1.1迭代公式的构造5.1.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法第五章线性方程组迭代解法第五章线性方程组的迭代解法教学目的1.掌握Jacobi迭代法，G-S迭代法解大型线性方程组的方法及其收敛性的判别方法；2.掌握SOR迭代法及收敛的必要条件(0<ω<2)；3.了解三种迭代法之间的改进关系从而掌握该思想方法；4.理解迭代法基本定理。教学重点及难点重点是三种迭代法及收敛性的判别方法；难点是迭代法基本定理及三种迭代法收敛定理的证明。第五章线性方程组迭代解法第5章线性方程组的迭代解法首先看一个形成大型方程组的例子。考虑下面的Poisson

2、方程uxx+uxx=0,0≤x≤1,0≤y≤1,的离散逼近，其边界条件为：u(0,y)=y2,u(1,y)=1,0

3、稀疏矩阵。随着x和y的减少，所得到的方程组的阶数将增大。对于大型线形代数方程组，常用迭代解法。它是从某些初始向量出第五章线性方程组迭代解法发，用设计好的步骤逐次算出近似解向量x(k)，从而得到向量序列{x(k)}。一般x(k+1)的计算公式是x(k+1)=Fk(x(k),x(k−1),L,x(k−m)),k=0,1,L.称之为多步迭代法．若x(k+1)只与x(k)有关，且Fk是线性的，即x(k+1)=Bkx(k)+fk,k=0,1L,其中Bk∈R(n×n)，称为单步线性迭代法，Bk称为迭代距阵。若Bk和fk都与k无关，即x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1L,称为单步定常线性迭代法。本章主

4、要讨论具有这种形式的各种迭代方法。第五章线性方程组迭代解法5.1基本迭代方法5.1.1迭代公式的构造设A∈Rn×n，n，A非奇异，n满足方程组b∈Rx∈RAx=b。（5.1.1）如果能找到距阵B∈Rn×n，向量f∈Rn，使I−B可逆，而且方程组x=Bx+f(5.1.2)的唯一解就是方程组（5.1.1）的解，则可从（5.1.2）式构造一个定常的线性迭代公式x(k+1)=Bx(k)+f。（5.1.3）给定初始向量x(0)∈Rn,由(5.1.3)可以产生序列{xk},若它有极限x*,显然x*就是(5.1.1)和(5.1.2)的解。第五章线性方程组迭代解法定义5.1若对任意初始向量x(0)∈Rn，迭代

5、公式（5.1.3）产生的序列{x(k)}都有limx(k)=x*,k→∞则称迭代法（5.1.3）是收敛的。从（5.1.1）出发，可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组（5.1.2），从而得到不同的迭代法（5.1.3）。例如，设A可以分解为A=M−N，其中M非奇异，则由（5.1.1）可得x=M−1Nx+M−1b.令B=M−1Nx=M−1b,就可以得到（5.1.2）的形式。不同的分解方式A=M−N，可的不同的B和f,下面给出对应不同分解方式的常用迭代计算公式。第五章线性方程组迭代解法5.1.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法1.Jacobi迭代法记A=(aij)，可以把A分解为

6、A=D−L−U,（5.1.4）其中D=diag(a11,a22,L,ann),00a12La1n00OMa21L=−MOO,U=−.Oan−1,nLan,n−100an1现设D非奇异，即aii≠0,i=1,2,L,n。方程组（5.1.1）等价于x=D−1(L+U)x+D−1b.第五章线性方程组迭代解法由此构造迭代公式：x(k+1)=BJx(k)+fJ,k=0,1,L,（5.1.5）其中迭代距阵BJ和向量fJ为BJ=D−1(L+U)=I−D−1A,（5.1.6）fJ=D−1b.（5.1.7）称（5.1.5）为解（5.1.1）的Jacobi迭代法，简称J法。用J法计算向量序列{x(k)}，要用两组

7、单元存放向量x(k)和x(k+1)。迭代法可以写成分量形式i−1nxi(k+1)=(bi−∑aijx(jk)−∑aijx(jk))/aii,i=1,2,L,n.（5.1.8）j=1j=i+12.Gauss-Seidel迭代法在J法中，计算xi(k+1)时，分量x1(k+1),L,xi(−k1+1)已经算出，所以可考虑第五章线性方程组迭代解法对J法进行修改。在每个分量计算出来之后，下一个分量的计算就