资源描述：
《大一高数期末复习课提纲(很有用).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章极限与连续单调有界必有极限极限存在准则夹逼定理limsinx=1x→0x1两类重要极限lim(1+)x=ex→∞x有限个无穷小的和,积仍是无穷小无穷小性质与无穷小与有界量的积仍是无穷小等k阶)无穷大比较(高低同阶,阶,阶,价,1常用等价无穷小ex−1~xsinx~xtanx~xln(1+x)~x1−cosx~x22当x→0,ax−1~xlnaarcsinx~xarctanx~x(1+x)α−1~αxtanx−sinx~x322(1)消去零因子法;(2)同除最高次幂;(3)通分;(4)同乘共轭因式;
2、(5)利用无穷小运算性质函(6)复合函数求极限法则数(7)利用左、右极限求分段函数极限;极(8)利用夹逼定理;限的(9)利用两类重要极限;求(10)利用等价无穷小代换;法(11)利用连续函数的性质(代入法);(12)利用洛必达法则.洛必达法则+等价无穷小代换洛必达法则+变上限积分求导3例lim1+tanx−1+sinxetanx−esinxx→0=limtanx−sinx1+sinx)(etanx−esinx)x→0(1+tanx+=1limtanx−sinx=1limtanx−sinxesinx(eta
3、nx−sinx−1)2x→0etanx−esinx2x→0当x→0,etanx−sinx−1~tanx−sinx,故原式=1limtanx−sinxesinx(etanx−sinx−1)2x→0=1limtanx−sinx=1esinx(tanx−sinx)22x→04两对重要的单侧极限11(a>1)limax=0,limax=∞,x→0−x→0+limarctan1=−π,limarctan1=π.x2x→0−x→0+x2一类需要注意的极限limx2+1=−1,limx2+1=1.xxx→−∞x+5li
4、mf(x)=f(x0)x→x0连续的定义左连续、右连续第一类间断(可去型,跳跃间断点的分类型)第二类间断(无穷型,振荡型)最大,最小值定理闭区间连续函数的性质有界性,零点定理介值定理61例求f(x)=的间断点,并指出其类型.1−ex1−x解当时函数无定义,是函数的间断点.x=0,x=1,1x=0,由于limf(x)=lim=∞,xx→0x→01−e1−x所以x=0是函数的第二类间断点,且是无穷型.x=1,由于limf(x)=lim1=0xx→1−x→1−1−e1−x→+limf(x)=lim1=1xx→1
5、+x→1+→−∞1−1−xe所以x=1是函数的第一类间断点,且是跳跃型.7例求f(x)=(1+x)sinx的间断点,并判别其类型.x(x+1)(x−1)解x=−1,x=1,x=0是间断点,x=−1,lim(1+x)sinx=1sin1,x(x+1)(x−1)2x→−1x=–1为第一类可去间断点x=1,limf(x)=∞,x→1x=1为第二类无穷间断点x=0,limf(x)=limf(x)=1.−1,x→0+x→0−x=0为第一类跳跃间断点81例求y=2x−1+sin(x−1)sin1的间断点,1x−12x
6、+1并判断其类型.解:可知x=0，x=1是可能的间断点.(1)在x=0处limy=−1+sin2(−1)，limy=1+sin2(−1)x→0−x→0+因在x=0处的左右极限都存在,但不相等所以x=0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.9(2)在x=1处21−11limy=lim[x+sin(x−1)sin]=11x−1x→1x→1+132x即在x=1处函数的左右极限都存在且相等所以x=1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.10a(1−cosx)例设函数f(x)=x21,ln(b+x2),在x=0连续
7、,则a=2,b=e.提示:f(0−)=lima(1−cosx)=ax→0−x22f(0+)=limln(b+x2)=lnbx→0+x<0x=0x>0a=1=lnb1−cosx1x2~22112sin1,x≠0x例讨论f(x)=x0,x=0在x=0处的连续性与可导性.ax,x≤0e处处可导,那么例如果f(x)=()b(1−x2),x>0(A)a=b=1;(B)a=−2,b=−1;(C)a=1,b=0;(D)a=0,b=1.12第二章导数与微分左导数f−ʹ′(x0),右导数f+ʹ′(x0)定义导数几何意义切
8、线斜率k=fʹ′(x)0求微分dy=fʹ′(x0)dx微分可导与微分的关系可导⇔可微13按定义求导复合函数求导求导数方法隐函数,参数方程求导对数法求导分段函数在分段点求导1高阶导数(sinx,cosx,ex,!)1−x14x=ϕ(t)求导数：参数方程y=ψ(t)dydyψʹ′(t)==dtdxdxϕʹ′(t)dtdyψʹ′(t)dyd()d()ϕʹ′(t)d2yd()dxdxdtdt===dx2dxdxdxdtdt15第三章微
