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1、数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组2017年3月15日【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程【考向洞察】1、针对题型(1)确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2)确定零点的个数问题，多出现在选择题中；(3)利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有
2、可能出现。2、解决方案x直接画出函数图像，观察图像得出结论。y不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。【例题讲解】0xlnx，则函数例1、设函数f(x)3yf(x)（D）1)1在区间(,1)，(1,e)内均有零点e2)1在区间(,1)，(1,e)内均无零点e3)1在区间(,1)内有零点，(1,e)内无零点e4)1在区间(,1)内无零点，(1,e)内有零点e111x3111解1：f'(x)，f(x)在(,e)单调递减，f()10，3x3xee3e1e1
3、f(1)0，f(e)10，由零点存在定理知，区间(,1)内无零点，(1,e)内33e有零点。11解2：令f(x)0，得xlnx，作出函数yx和ylnx331的图象，如右图，显然在区间(,1)内无零点，(1,e)内有零点。e1x()2,x0例2、设f(x)2，则yf(x)x的零点个数是2。2x2,x0解：作出函数yf(x)和yx的图象，如右图，由图可知直线yx与函数f(x)的图象有两个交点，所以yf(x)x有2个零点。2xax,x0例3、已知函数f(x)，F(x)2f(x)x有2个零点，则实数a的ln(x1),x01取值范围
4、是。(,]221x解1：x0时，F(x)2f(x)x2ln(x1)x，则F'(x)1x11x当0x1，F(x)单调递增；当x1，F(x)单调递减；而F(0)0,F(x)maxF(1)0，F(4)2ln540，此时有1个零点；x0时，F(x)，只有1个零点，则1x22axx的根为0或正数，21由2x2(2aA.x10或x2a，12a0，解得a。解得x22xx解2：令F(x)0，得f(x)，作出yf(x)和y的图象222x11当x0时，(1)ax恒成立，ax，a2222kx1,x0例4、若函数f(x)则当k0时，函数(2)f[
5、f(x)]1的零点个数为(D)lnx,x0A.1B.2C.3D.4解：令f(x)t，若yf[f(x)]10，则f(t)1则f(x)t1(,0)，f(x)t2(0,1)对于f(x)t1存在两个零点；对于f(x)t2存在两个零点；综上可知，函数yf[f(x)]1有4个零点。例5、设f(x)(xB.2exaex，g(x)2ax2（e为自然对数的底数），若关于x的方程f(x)g(x)有且仅有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是（D）22eeA.(,)B.(e,)C.(1,e)D.(1,)2e12e1解：由f(x)g(x)得(x2
6、)2exaex2ax222xx即(x2)e2ax2ea0令tx2ex2h(x)，则t2ata0(x2)ex,x2(x1)ex,x2h(x)x，h'(x)x(2x)e,x2(1x)e,x2h(x)的大致图象如右图：2方程t2ata0在(0,e)上有两个不同的解t1,t2时可以满足题意4a24a02e则0tae解得1a对22e1t(e)e2aea03【归纳小结】1、解决此类问题的关键是数形结合；2、还应把握两类知识：(1)灵活构造函数；(2)图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。【教学反思】数形结合思想是高中数学常用
7、思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！4
