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《(完整版)常微分方程基本概念习题及解答 .doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1.2常微分方程基本概念习题及解答1.dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。dx解：dy=2xdx两边积分有：ln
2、y
3、=x2+cyy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=ex2.2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2dx=-(x+1)dydyy2dy=-1dxx1两边积分:-1=-ln
4、x+1
5、+ln
6、c
7、y=yln1
8、c(x1)
9、另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y
10、=ln1
11、c(x1)
12、3.dy=1dxxyy2x3ydy1y21解：原方程为：=dxyxx31y2dy=1dx3yxx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：1ydy=-yx1dxx两边积分：ln
13、xy
14、+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dy=-xydxxy令y=u则dy=u+xdu代入有：xdxdx-u1du=1dxu21xln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctgy.x26.
15、xdy-y+dxx2y2=0解：原方程为：dy=dxy+
16、xx
17、-1x(y)2x则令y=udy=u+xdux11u2ydxdu=sgnxdx1dxxarcsinx=sgnxln
18、x
19、+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：dy=tgydxctgx两边积分：ln
20、siny
21、=-ln
22、cosx
23、-ln
24、c
25、siny=1=ccosxccosx另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8dydxey23x+=0y3xdyey2解：原方程为：=edxy3x2e-3ey2=
26、c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0dy解：原方程为：dx=ylnyxx令y=u,则dy=u+xduxdxdxu+xdu=ulnudxln(lnu-1)=-ln
27、cx
28、10.1+lndy=exdxy=cy.xy解：原方程为：ey=cexdy=exeydx11dy=(x+y)2dx解：令x+y=u,则du-1=u2dxdy=dxdu-1dx11u2du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dy=dx(x1y)2解：令x+y=u,则dy=dxdu-1dxdu-1=1dxu2u-arctgu=x+cy
29、-arctg(x+y)=c.13.dy=2xy1dxx2y1解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=c14:dy=xy5dxxy2解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(1y2+2y)-d(21x2+5x)=0215:y2+4y+x2+10x-2xy=c.dy=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1dx解：原方程为：dy=（x+4y）
30、2+3dx令x+4y=u则dy=1du-11du-14dx4dx=u2+34dx4du=4u2+13dx3u=tg(6x+c)-12tg(6x+c)=2(x+4y+1).316:证明方程xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx1）y(1+x2y2)dx=xdy2）xdy=2x2y222ydx2-xydydu证明：令xy=u,则xdx+y=dx则dy=1du-u，有：dxxdxx2xdu=f(u)+1udx1u(f(u)du=1dx1)x所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u则dy=
31、1du-u(1)dxxdxx2原方程可化为：dy=dxy[1+（xy）2](2)x将1代入2式有：1xdu-udxx2=u(1+u2)xu=u22+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：y0x=x0-y'y=y0-x0y’则x=2x0y0=x0-y'所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=。4解：由题意得：y’=yx1dy=y1dxxln
32、y
33、=ln
34、xc
35、y=c
36、x.=4则y=tgx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：
