(完整版)新高中数学复数讲义.教师版 .doc

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1、欢迎阅读复数知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1，即i21；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:22i就是1的一个平方根，即方程x1的一个根，方程x1的另一个根是-i．（4）i的周期性：4n14n24n34nii，i1，ii，i1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数abi纯虚数bi(a0)虚数abi(b0)非纯虚数abi(a0)1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示2)

2、复数的代数形式:通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．w复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，复数abi(a，bR)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数0x复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘RC欢迎阅读y两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d，c，dR，那么abicdiac，bd二、复数的几何意义0复平

3、面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a，bR)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．1．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．一一对应复数zabi复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数

4、的四则运算L复数z1与z2的和的定义：M复数z1与z2的差的定义：N复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z1O复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)P乘法运算规则：设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积z1z2abicdiacbdbcadi2其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．Q乘法运算律：（1）z1z2z3z1z2z3（2）(z1z2)z3z1(z2z3)（3）z1z2z3z1z2z1z3R

5、复数除法定义：欢迎阅读满足cdixyiabi的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，abi记为：(abi)cdi或者cdiS除法运算规则：设复数abi(a、bR)，除以cdi(c，dR)，其商为xyi（x、yR)，即(abi)cdixyi∵xyicdicxdydxcyi∴cxdydxcyiabiacbdxcxdya22由复数相等定义可知cd，，解这个方程组，得dxcybbcady22cdacbdbcad于是有:(abi)cdii2222cdcd22abi②利用cdicdicd于是将的分母有理化得：cdiabi(abi)

6、(cdi)[acbi(di)](bcad)i原式22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcadi．222222cdcdcdacbdbcad∴((abi)cdii2222cdcd点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积22为1是有理数，而z)dicdicaa)是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．T共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭

7、复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．欢迎阅读例题精讲1.复数的概念ai【例1】已知2bi(i为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）1i3A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，2【答案】D0!1!2!100!【例2】计算：i+i+i+L+i（i表示虚数单位）【答案】952i【解析】∵i40!+i1!+i2!+L+i100!ii(1)(1)197952i1，而4

8、k!（k4），故i22【例3】设z(2t5t3)(t2t2)i，tR，则下列命题中一定正确的是（）A．z的对应点Z在第一象限B．z的对应点Z在第四象限C．z不

9、是纯虚数D．z是虚数【答案】D【解析】t22t2(t1)210．【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；22②若(x1)(x3x2)i是纯虚数，则实数x1；③z是虚数的一个充要条件是zzR；④若