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《(完整版)新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析) .doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基本不等式知识点：222b22abaab1.(1)若a,bR，则a若a,bR，则ab（当且仅当2ab时取“=”）*ab*2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当2Qb时取“=”）2b若a,bR*，则abab(当且仅当ab时取“=”）21(1)若0，则x2(当且仅当x1时取“=”）xx1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x111若x0，则x2即x2或x-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab(2)若ab0，则2(当且仅当aR时取“=”）若ab0，则ba(2)babab2即2或-2(当且仅当ab时取“=”）(3)ababa22ab2ab(3)若a,bR，
2、则()（当且仅当ab时取“=”）22注意：3.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．4.求最值的条件“一正，二定，三取等”5.均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域11（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋2x2x11解：(1)y＝3x2＋≥23x2·＝6∴值域为[6，+∞）2x22x211(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x·＝2；xx111当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2x·=－2xxx∴值域为（－∞，－2]∪
3、[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项51例已知x，求函数y4x2的最大值。44x51解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)g不是常数，所以对4x24x5要进行拆、凑项，511Qx,54x0，y4x254x323144x554x1当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x技巧二：凑系数例：当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。3
4、变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)222233当且仅当2x32x,即x0,时等号成立。42技巧三：分离技巧四：换元x27x10例：求y(x1)的值域。x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。4（x1)当,即时,y259（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t1)27(t1）+10t25t44y=t5ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。ta技巧
5、五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)x的单x调性。x25例：求函数y的值域。x242x25211解：令x4t(t2)，则yx4t(t2)22x4x4t11因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。19例：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。xy19199错．解．：Qx0,y0，且1，xyxy22xy12故xyxyxyxy12。min错因
6、：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在19199等号成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，2xyxyxy在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。1919y9x正解：Qx0,y0,1，xyxy1061016xyxyxyy9x19当且仅当时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xy16。minxyxy技巧七2y22例：已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y的最大值.2a2＋b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。211＋y2同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为，
7、x1＋y2＝x2·＝22221yx·＋221y2下面将x，＋分别看成两个因式：22y211y2x2＋＋x2＋(＋)21y222223x＝＝2·＋≤即x1＋y＝2·x242221y23＋≤2224技巧八：1已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既
