专题复习总结：高中数学必修5基本不等式经典例题

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1、基本不等式知识点：1.⑴若a,bgR,贝0a2+b2>2ab⑵若“则沁冒（当且仅当□时取“=”）2.(1)若a,beR则凹(2)若a,beR",则a+b>2^Zb(当且仅当a=b时取“二”)2⑶若⑦仆，则汎罗「当且仅当…吋取“=”）3.若兀〉0,则x+->2（当且仅当兀=1时取“二”）若xvO,则x+-<-2（当且仅当x=-吋取“二”）X若兀工0,则兀+丄>2E

2、Jx+->2«Ja+丄「2（当且仅当a=b时取“二”）4•若db>0,则冬+叽2ba~（当且仅当a=b时取“二”）若ab^O,则纟+2ban2即—I—n2或—I—S・2bab

3、a（当且仅当a=b时取“二”）5.若a,bwR,贝ij（£l^）2<£L±^i（当且仅当a=b吋取“=”）22注意：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较人小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方而有广泛的应用应用一：求最值求下列函数的值域11（1）尸30+2塔(2)y=x+-解：(l)y=3x2+2x2>2寸3x2,x2=霞••値域为,+8）1/1⑵当x>0时zy=

4、x+-X叫q=2;11/1当xvO0jy=x+~X=-(-x・】)S・2、/X--=-2二值域为(・8,・2]U[2,+8)解题技15技巧一：凑项例已知求函数心_2+占的最大值。解：因4—5<0,所以首先要’碉整”符号，又(4-2)—^不是常数，所以对4兀-2要进行拆、凑项，4x-55(1Ax<-,:.5-4x>0/•・.y=4兀一2+=-5一4兀++3<-2+3=14-4尢-5I5-4兀丿当且仅当5-4x=-l-，即兀=1时，上式等号成立，故当兀=1时，儿^=1。5-4%技巧二：凑系数例：当0

5、。解析：由0<4知，8-2x>0,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。尹=x(8—2x)=；2x・(8-2x)］<

6、(2x+^~2x)2=8^2x=8-2x，即x=2时取等号当x二2时，y=x(8-2x)的最大值为&3变式：设0<兀<3,求函数=4x(3-2x)的最大值。2x+3-2x3解:'.00.y=4x(3-2x)=2-2x(3-2x)<当且仅当2x=3—2兀,即无二扌丘0,二

7、

8、时等号成立。X2+7x+10例：求y="十心2(兀>-1)的值域。技巧三：分离换元X+1解析一:本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(X+1)的项，再务其分离。X2+7x+10(x+1)2+5(x+l)+4/讥4°V==——=(x+1)++5x+1x+1x+11>0时》2j(x+l)x丄+5=9(当且仅当x=l时取“二“号)。Vx+1解析二:本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t二X+1,化简原式在分离求最值。(—1)2+7(11)+10八+5M4=y=-——==/+—+5ttt当X>—1很［H=x+l〉0H±yn2j/

9、x《+5=9(当t二2艮卩x=l日寸取“二“号)。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)=x+-的单调性。X例：求函数y=「+5的值域。/x2+4解：令R皿2),则严聖=”+古十扣2)y/x2+4因r>0,ry=l，但心+解得心±1不在区间［2,+8)，故等号不成立，考虑单调性。因为y=t+^在区间［1,+8）单调递增,所以在其子区间［2,+00）为单调递增函数，故），斗_5、所以，所求函数的值域为。L2丿技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

10、。例：己知x>0,y>0,且丄+2=1,求x+y的最小值。（兀+小2=12故（兀+刃简=12。I9错解：兀>0,〉'>0,且1=1//.X+y=错因：解法中两次连用均值不等式，在兀云等号成立条件是"V，在—2匹等号成立条件是丄=2XJ■xyXy即y=9小取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要正解：步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。；.x+y=(x+y)yOr19当且仅当上二一时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4,y=12时，（兀+y）.=16。XyXJ'7m,n技巧七例

11、：已知"y为正实数，且/+才=1，求Z'+y2的最大值.日2+夕分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<——。同时还应化简小+尸中/前面的系数为I,1Z2_+—22分别看成两个因式