专题复习:高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)

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1、基本不等式知识点:1.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)2.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则(当且仅当时取“=”)3.若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)4.若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)5.若,则(当且仅当时取“=”)注意:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等

2、”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一:求最值例:求下列函数的值域(1)y=3x2+(2)y=x+解:(1)y=3x2+≥2=∴值域为[,+∞)(2)当x>0时,y=x+≥2=2;当x<0时,y=x+=-(-x-)≤-2=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例已知,求函数的最大值。解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例:当时,求的最大值。

3、解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。变式:设,求函数的最大值。解:∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三:分离换元例:求的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x

4、=1时取“=”号)。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。技巧六:整体代换(“1”的应用)多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。例:已知,且,求的最小值。错解:,且,故。错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式

5、处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,。技巧七例:已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为,x=x=x·下面将x,分别看成两个因式:x·≤==即x=·x≤技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求

6、解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。法一:a=,ab=·b=由a>0得,0<b<15令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。法二:由已知得:30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3∴≤3,ab≤18,∴y≥点评:①本题考

7、查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.技巧九、取平方例:求函数的最大值。解析:注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=,即时取等号。故。应用二:利用均值不等式证明不等式例:已知a、b、c,且。求证:分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。解:a、b、c,。。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得。当且仅当时取等号。应用

8、三:均值不等式与恒成立问题例:已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。解:令,。,应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若,则的大小关系是.分析:∵∴(∴R>Q>P。

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