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《专题复习总结:高中数学必修5基本不等式经典例题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、基本不等式知识点:1.⑴若a,bgR,贝0a2+b2>2ab⑵若“则沁冒(当且仅当□时取“=”)2.(1)若a,beR则凹(2)若a,beR",则a+b>2^Zb(当且仅当a=b时取“二”)2⑶若⑦仆,则汎罗「当且仅当…吋取“=”)3.若兀〉0,则x+->2(当且仅当兀=1时取“二”)若xvO,则x+-<-2(当且仅当x=-吋取“二”)X若兀工0,则兀+丄>2E
2、Jx+->2«Ja+丄「2(当且仅当a=b时取“二”)4•若db>0,则冬+叽2ba~(当且仅当a=b时取“二”)若ab^O,则纟+2ban2即—I—n2或—I—S・2bab
3、a(当且仅当a=b时取“二”)5.若a,bwR,贝ij(£l^)2<£L±^i(当且仅当a=b吋取“=”)22注意:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较人小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方而有广泛的应用应用一:求最值求下列函数的值域11(1)尸30+2塔(2)y=x+-解:(l)y=3x2+2x2>2寸3x2,x2=霞••値域为,+8)1/1⑵当x>0时zy=
4、x+-X叫q=2;11/1当xvO0jy=x+~X=-(-x・】)S・2、/X--=-2二值域为(・8,・2]U[2,+8)解题技15技巧一:凑项例已知求函数心_2+占的最大值。解:因4—5<0,所以首先要’碉整”符号,又(4-2)—^不是常数,所以对4兀-2要进行拆、凑项,4x-55(1Ax<-,:.5-4x>0/•・.y=4兀一2+=-5一4兀++3<-2+3=14-4尢-5I5-4兀丿当且仅当5-4x=-l-,即兀=1时,上式等号成立,故当兀=1时,儿^=1。5-4%技巧二:凑系数例:当05、。解析:由0<4知,8-2x>0,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。尹=x(8—2x)=;2x・(8-2x)]<
6、(2x+^~2x)2=8^2x=8-2x,即x=2时取等号当x二2时,y=x(8-2x)的最大值为&3变式:设0<兀<3,求函数=4x(3-2x)的最大值。2x+3-2x3解:'.00.y=4x(3-2x)=2-2x(3-2x)<当且仅当2x=3—2兀,即无二扌丘0,二
7、
8、时等号成立。X2+7x+10例:求y="十心2(兀>-1)的值域。技巧三:分离换元X+1解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(X+1)的项,再务其分离。X2+7x+10(x+1)2+5(x+l)+4/讥4°V==——=(x+1)++5x+1x+1x+11>0时》2j(x+l)x丄+5=9(当且仅当x=l时取“二“号)。Vx+1解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t二X+1,化简原式在分离求最值。(—1)2+7(11)+10八+5M4=y=-——==/+—+5ttt当X>—1很[H=x+l〉0H±yn2j/
9、x《+5=9(当t二2艮卩x=l日寸取“二“号)。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数f(x)=x+-的单调性。X例:求函数y=「+5的值域。/x2+4解:令R皿2),则严聖=”+古十扣2)y/x2+4因r>0,ry=l,但心+解得心±1不在区间[2,+8),故等号不成立,考虑单调性。因为y=t+^在区间[1,+8)单调递增,所以在其子区间[2,+00)为单调递增函数,故),斗_5、所以,所求函数的值域为。L2丿技巧六:整体代换(“1”的应用)多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
10、。例:己知x>0,y>0,且丄+2=1,求x+y的最小值。(兀+小2=12故(兀+刃简=12。I9错解:兀>0,〉'>0,且1=1//.X+y=错因:解法中两次连用均值不等式,在兀云等号成立条件是"V,在—2匹等号成立条件是丄=2XJ■xyXy即y=9小取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要正解:步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。;.x+y=(x+y)yOr19当且仅当上二一时,上式等号成立,又一+—=1,可得x=4,y=12时,(兀+y).=16。XyXJ'7m,n技巧七例
11、:已知"y为正实数,且/+才=1,求Z'+y2的最大值.日2+夕分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab<——。同时还应化简小+尸中/前面的系数为I,1Z2_+—22分别看成两个因式