预习导航1.1导数.docx

《预习导航1.1导数.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、预习导航课程目标学习脉络1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率；2．理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数的导数；3．理解导数的几何意义，并能应用导数的几何意义解决相关问题.1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x＝x1－x0，y＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)，则当x≠0时，商fx0＋x－fx0＝y在x称作函数y＝f(x)x区间[x0，x0＋x](或[x0＋x，x0])的平均变化率．y思考1在平均变化率中，x，y，x是否

2、可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？x可以为正数，也可以为负数，但x不可以为0，y可以为0；y提示：x可以为0.当平均变化率y等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数．例如函数f(x)＝x2在区间x[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常数函数．点拨函数平均变化率的几何意义：如图所示，函数f(x)在区间[x0，x1]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x0，f(x0))，B(x1，f(x1))．事实上，kAB＝fx1－fx0y1－x0＝x.x2．瞬时速度与导数(1)瞬时速度物体在

3、运动过程中的某一时刻的速度称为瞬时速度．用数学语言描述为：物体运动的位移函数s＝f(t)，当t趋近于0时，f(t)在t0到t0＋ft0＋t－ft0t之间的平均速度趋近于常t数，这个常数称为物体在t＝t0时刻的瞬时速度．(2)瞬时变化率第1页设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为x时，函数值相应地改变y＝f(x0＋x)－f(x0)．x趋近于0时，平均变化率yfx0＋x－fx0l，那么常数l如果当x＝x趋近于一个常数称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．(3)导数“当x趋近于0时，fx0＋x－f

4、x0趋近于常数l”可以用符号“→”记作“当x→0xfx0＋x－fx0→l”，或记作“limfx0＋x－fx0时，xx＝l”，符号“→”读作“趋近x→0于”．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在点x0处是可导的．对于上述变化过程，可以记作fx0＋x－fx0→f′(x0)或f′(x0)＝limfx0＋x－fx0.当x→0时，xxx→0(4)导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)

5、内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．思考2“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？提示：(1)函数f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量．(2)导函数也简称导数，所以(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，

6、再计算导函数在这点的函数值．点拨导数定义式的几种常见的变式：f′(x)＝limfx＋x－fx；xx→0f′(x)＝limfx＋2x－fx2x；x→0f′(x)＝limfx－x－fx；x→0－x第2页f′(x)＝limx→0f′(x0)＝limx→x0fx－fx＋x；－xfx－fx0.x－x03．导数的几何意义(1)切线设函数y＝f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋x，f(x0＋x))的一条yfx0＋x－fx0割线．由此割线的斜率是x＝x，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲

7、线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．于是，当x→0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线fx0＋x－fx0＝切线AD的斜率．AD的斜率，即limxx→0(2)导数的几何意义由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．思考3与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？提示：不一定．如x轴或与x轴平行的直线与抛物线y2＝2px(p＞0)均只有一个公共点，但不能说这些直线是抛物线的切线．思考4曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提

8、示：不一定．例如直线y＝1是曲线y＝sinx的一条切线，但它们有无数个公共点．点拨正确区分曲线切线的两种不同描述方法：(1)曲线y＝f(x)在点P处的切线，是指点P恰好就是切线与曲线的切点，这时切线唯一；第3页