2021届高考数学二轮复习高频考点21恒成立问题之最值分析法（原卷word版）.docx

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1、微专题二十一恒成立问题之最值分析法最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考验学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。一、基础知识：1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函

2、数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有

3、边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。二、典型例题：例1：设，当时，恒成立，求的取值范围【名师点睛】：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。【名师点睛】：（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比（2）最后确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对进行的，的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集例2：已知函数，对

4、任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围【名师点睛】：此题在的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在中是极大值点，不可能是最小值，所以无论是否在，最小值（或临界值）均只会在边界处产生，所以只需即可【名师点睛】：第一点是分析时由于形式复杂并没有对直接求导，而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析的重要原因例4：已知，若对任意的，均有，求的取值范围【名师点睛】：本题导

5、函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍例5：已知函数对任意的，均有，求实数的范围【名师点睛】：这道题的重要特点在于的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。例6：已知函数，（1）求函数的单调区间（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围【名师点睛】：（1）的构造的来源：的解析式可看为以为自变量的一次函数，且单调递增（），所以对于，无论为何值，，即，与恒成立的不等式不等号方向一致。（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数取值范围的验

6、证。（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数首先先说考虑使用这个方法的前提：①以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）②参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中，而刚好关于单调递增，且要。故可引入位于与之间）其步骤如下：①代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A②因为最终结果A的子集，所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围③如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小④证明新函数介于原函数与不等式右侧值

7、之间，进而说明A中的所有值均满足条件，即为最后结果例7：已知函数，若在区间上，恒成立，求实数的取值范围例8：已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数（1）求的值（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围例9：设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【名师点睛】：本道题的亮点在于代入以缩小的范围，并不是边界点，但是由于易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画的范围，故首选例10：（2019浙江模拟）设函数（1）若为的极值点，求实数（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数