第四节 函数的单调性、极值和最大最小值.ppt

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1、第四节函数的单调性、极值和最大最小值问题：反过来，若？若？一、函数的单调性1函数的单调性的判定法同样的方法可证（2）。例1解证2例2解例3解3结论：若函数在其定义域上连续，除有限个点导数不存在的点外，导数存在且连续，则用的根及不存在的点划分的定义域区间，在这些部分区间上的单调性不变。划分函数的单调区间的步骤:（5）用xi、xk把函数的定义域划分为单调区间；（6）把以上结果制成表格。（1）确定函数定义域；（2）求（3）令,求出它的根xi;（4）确定的间断点、不存在的点xk；4例4解5又例解例5解结论：若在某区间内的个别点处为零，在其余各点均为正（或负）时，则在该区间上仍是

2、单调增加（或单调减少）的。6利用单调性证不等式例6证7试证方程只有一个实根提示：设是一个根8二、函数的极值及其求法极值定义(小)(小)极大值，极小值，极小值点。极大值点。9注：（1）函数的极大值和极小值是局部性的。如：（2）函数的极值只能在区间内部取得取得。（3）若函数在某区间内部有唯一的极值点，则极大值一定是最大值，极小值一定是最小值。10定理1（必要条件）驻点：使导数为零的点（即方程的实根）。可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。问题：怎样才能从驻点中找出极值点？11充分条件定理3（第二充分条件）定理2（第一充分条件）12分析：是极大值定理3（第二充分条

3、件）13例1解法1法214例2解是函数的驻点。15例3解2例4如果提示：原函数递增原函数递减16三、函数的最大值和最小值例1解函数取得最值的点：（1）驻点；（2）区间端点。17例2解2.实际问题中的最大最小值问题铁路公路18(1)若函数在某区间内部有唯一的极值点，则极大值一定是函数在该区间上的最大值，极小值一定是最小值。注：（2）对实际问题，若在定义域区间内部只有一个驻点就是所要求的最大值或最小值。例3把一直径为的圆木锯成截面为矩形的梁，问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为而19所以令得所以，当时，的值最大。这

4、时即是（o,d）内唯一驻点！20解由于最小周长一定存在，例4.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆21小结：（2）函数极值的定义（3）函数取得极值的必要条件（4）函数取得极值的充分条件（第一种、第二种）。（5）一般函数的最值的求法（6）实际问题的最值的求法、函数关系式、定义域。（1）判断函数单调性的方法22