函数单调性和最大值最小值.ppt

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1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．思考探究1：如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数？思考探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存

2、在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有__f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.①对于任意x∈I，都有__f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值解析：依题意可得函数应在x∈(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A正确．答案：A4．(2010年广东省深圳市联考)定义在R上的函数f(x)满足：f(－x)＝－f(x＋4)，且x>2时，f(x)递增，x1＋x2<4，(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值是()A．恒为正数B．恒为负数C．等于0D．正、负都有可能解析：解法一：由(x1－2)(x

3、2－2)<0，不妨设x12时f(x)递增，则f(x)在R上单调递增，由x1＋x2<4得x1<4－x2，故f(x1)

4、x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

5、的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间．2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．考点三函数的最值求函数最值(值域)常用的方法和思路：(1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先

6、对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．例4函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.【分析】问题(1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义．问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此

7、需将右边常数3看成某个变量的函数值．【解】(1)证明：设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，利用函数单调性比较数的大小．辽宁卷、陕西卷都涉及到利用函数单调性解决数的大小问题．(2010年广东高考)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf

8、(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．(1)求f(－1)，f(2.5)