函数单调性极值最大最小值.ppt

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1、§4.3函数的单调性、极值、最大最小值问题一、函数单调性的判别二、函数的极值及其判别法三、最大最小值问题一、单调性的判别法定理1证：充分性应用拉氏定理,得必要性如果2)不成立，则在某一部分区间f(x)为一常数，矛盾.充分性由1)和定理1，矛盾.例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．看书：P.111:定理4.9单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单

2、调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为例3解单调区间为例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,看书：P.112:例1，例2，例3小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.思考题思考题解答不能断定.例但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．练习题练习题答案二、函数的极值函数极值的定义定义

3、函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,由极值的定义，用费马定理即可证明此定理.定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.看书：P.114-116:例4－例7练习：P.141:14(2)(7)x-101y’y三、最大、最小值的问题步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函

4、数值,比较大小,哪个最大哪个就是最大值,哪个最小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)应用举例例1解计算比较得点击图片任意处播放暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓

5、会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为点击图片任意处播放暂停例4解如图,解得看书：P.117:例9，例10，例11练习：P.141:17,1817.18小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;

6、(注意使用条件)作业：P.141:13(1)(8),14(1)(8),15,16思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案