矩阵的求导运算.docx

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1、矩阵导数问题1矩阵Y=F(x)对标量x求导相当于矩阵中每个元素对x求导dYdx=df11(x)dxdf12(x)dxdf21(x)dxdf22(x)dx⋯df1n(x)dx⋯df21(x)dx⋮⋮dfm1(x)dxdfm2(x)dx⋱⋮⋯dfmn(x)dx2标量y对矩阵X求导注意与上面不同，这次括号内是求偏导，对m×n矩阵求导后还是m×n矩阵y=fx=dydX=∂f∂x11∂f∂x12∂f∂x21∂f∂x22⋯∂f∂x1n⋯∂f∂x2n⋮⋮∂f∂xm1∂f∂xm2⋱⋮⋯∂f∂xmn3函数矩阵Y对矩阵X求导矩阵Y对每一个X的元素求导

2、，构成一个超级矩阵FX=f11(x)⋯f1n(x)⋮⋱⋮fm1(x)⋯fmn(x)X=x11⋯x1s⋮⋱⋮xr1⋯xrsdFdX=∂F∂x11∂F∂x12∂F∂x21∂F∂x22⋯∂F∂x1s⋯∂F∂x2s⋮⋮∂F∂xr1∂F∂xr2⋱⋮⋯∂F∂xrs，其中∂F∂xij=∂f11∂xij∂f12∂xij∂f21∂xij∂f22∂xij⋯∂f1n∂xij⋯∂f2n∂xij⋮⋮∂fm1∂xij∂fm2∂xij⋱⋮⋯∂fmn∂xij重要结论：假设x是一个向量：dxTdx=I，dAxdxT=A，d(Ax)Tdx=AT4向量积对列向量x求导

3、运算法则注意与标量有点不同，假设u，v都是列向量d(uTv)dx=d(uT)dx∙v+d(vT)dx∙u1.1重要结论：d(xTx)dx=d(xT)dx∙x+dxTdx∙x=2xd(xTAx)dx=d(xT)dx∙Ax+dxTATdx∙x=A+ATx重要结论：d(uTXv)dX=uvTd(uTXTXu)dX=2XuuTd[Xu-vTXu-v]dX=2(Xu-v)uT其中dxTAxdx=dx1a11+x2a21+…+xnan1x1a12+x2a22+…+xnan2⋯x1a1n+x2a2n+…+xnann∙x/dx=da11x12+x

4、2a21x1+…+xnan1x1+x1a12x2+x2a22x2+…+xnan2x2+…+x1a1nxn+x2a2nxn+…+xnannxn/dx=2a11x1+a21x2+…+an1xn+a12x2+a13x3+…+a1nxna21x1+a12x1+2a22x2+a32x3+…+an2xn+a23x2+a23x3+…+a2nxn⋮an1x1+an2x2+…+ann-1xn-1+a1nx1+a2nx2+…+2annxn=A+ATx其中duTXTXudX==d[(Xu)TXu]dX=∂[(Xu)TXu]∂x11∂[(Xu)TXu]∂

5、x12∂[(Xu)TXu]∂x21∂[(Xu)TXu]∂x22⋯∂[(Xu)TXu]∂x1n⋯∂[(Xu)TXu]∂x2n⋮⋮∂[(Xu)TXu]∂xm1∂[(Xu)TXu]∂xm2⋱⋮⋯∂[(Xu)TXu]∂xmn=∂[x11u1+x12u2+⋯+x1nun2+x21u1+x22u2+⋯+x2nun2+⋯+xm1u1+xm2u2+⋯+xmnun2]∂xij=2x11u1+x12u2+⋯+x1nunu12x11u1+x12u2+⋯+x12unu22x21u1+x22u2+⋯+x2nunu12x21u1+x22u2+⋯+x2nunu

6、2⋯2x11u1+x12u2+⋯+x1nunun⋯2x21u1+x22u2+⋯+x2nunun⋮⋮2xm1u1+xm2u2+⋯+xmnunu12xm1u1+xm2u2+⋯+xmnunu2⋱⋮⋯2xm1u1+xm2u2+⋯+xmnunun=2XuuT1.2注意：有些公式不实用，例如：dxxdx=dx1x2x3×x1,x2,x3dx=dx12x1x2x1x3x2x1x22x2x3x3x1x3x2x32dx=2x1x2x3x200x3000x10x12x2x30x3000x1x2x1x22x3dxdxx+dxdxx=2x12x22xx1

7、2x22xx12x22x