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1、矩阵函数求导首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵（1）函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。单变量函数矩阵的微分与积分考虑实变量t的实函数矩阵Xt()=()xtij()，所有分量函数xtij()定义域相同。mn×定义函数矩阵的微分与积分dd⎛⎞⎜⎟tt⎛⎞⎜⎟Xt()==⎜⎜xtij(),⎟⎟⎟∫∫Xd()ττ⎜⎜xij()ττd⎟⎟.dx⎜⎝⎠dxtt00⎝⎠函数矩阵的微分有以下性质：ddd（1）()Xt()+=Yt()Xt()+Yt()；dtdtdtddX()tdY()t（2）()XtY
2、t()()=+Yt()Xt()；dtdtdt特殊情形dd（a）若K是常数矩阵，则()KXt()=KXt()；dtdtdd2X()tdX()t（b）若Xt()是方阵，则Xt()=+Xt()Xt()；dtdtdtdd－－－111X()t（3）()Xt()=－；Xt()Xt()dtdtdAtAtAt（4）对任意的方阵A和时变量t，恒有eA==eeA；dtABBAAB+（5）若AB=BA，则ee==eee。如果AB,可交换，则许多三角不等式可以推广到矩阵上。如sin(Ab+),sin(2)A等。参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。（2）矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数
3、的自变量和因变量的形式可分为多种。矩阵函数的导数Tnm定义（向量导数）：映射f:yy→，ff==()(),(),xfxf?,()x(f(),xim)=1...，12mi定义映射的导数为一个mn×的偏导数矩阵dfx()dAx⎡⎤Df===i,i1...,mj1...n.例如=A，⎢⎥⎣⎦ijdxdxj⇒Dfx⎡⎤⎢⎥αβαβαβ()+=+gx()Dfx()Dgx(),∈∈yy,⎣⎦''Dfgx⎡⎤⎢⎥⎣⎦(())=fgxgx(()())TTT''nmDfxgx⎡⎤()()=+gxfx()()fxgxfg()(),,∈yy→⎢⎥⎣⎦⇒TdxAxTTTT=+=+xAAx()xAA()d
4、x定义（矩阵导数）：dAX()dAvec(()X)3dXdvec()X有符号说明•d/dx(y)是一个向量，其第(i)个元素是dy(i)/dx•d/dx(y)是一个向量，其第(i)个元素是dy/dx(i)T•d/dx(y)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(j)/dx(i)•d/dx(Y)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(i,j)/dx•d/dX(y)是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy/dx(i,j)注意Hermitian转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y是向量，X，Y是矩阵，x,y是标量。在下面的表达中A,B,C是不依赖于X的矩阵，a,b是不依赖于x的向量，
5、线性积•d/dx(AYB)=A*d/dx(Y)*Bod/dx(Ay)=A*d/dx(y)T•d/dx(xA)=ATod/dx(x)=ITTod/dx(xa)=d/dx(ax)=aTT•d/dX(aXb)=abTTTTod/dX(aXa)=d/dX(aXa)=aaTTT•d/dX(aXb)=ba•d/dx(YZ)=Y*d/dx(Z)+d/dx(Y)*Z二次积TTTT•d/dx(Ax+b)C(Dx+e)=AC(Dx+e)+DC(Ax+b)TTod/dx(xCx)=(C+C)xT°[C:symmetric]:d/dx(xCx)=2CxT°d/dx(xx)=2xTTTod/dx(Ax+b
6、)(Dx+e)=A(Dx+e)+D(Ax+b)TT°d/dx(Ax+b)(Ax+b)=2A(Ax+b)TTo[C:symmetric]:d/dx(Ax+b)C(Ax+b)=2AC(Ax+b)TTTT•d/dX(aXXb)=X(ab+ba)TTTod/dX(aXXa)=2XaaTTTTT•d/dX(aXCXb)=CXab+CXbaTTTTod/dX(aXCXa)=(C+C)XaaTTTo[C:Symmetric]d/dX(aXCXa)=2CXaaTTT•d/dX((Xa+b)C(Xa+b))=(C+C)(Xa+b)a三次积TTTTT•d/dx(xAxx)=(A+A)xx+xAxI逆
7、-1-1-1•d/dx(Y)=-Yd/dx(Y)Y迹Note:matrixdimensionsmustresultinann*nargumentfortr().•d/dX(tr(X))=Ikk-1T•d/dX(tr(X))=k(X)krk-r-1T•d/dX(tr(AX))=SUMr=0:k-1(XAX)-1-1-1T•d/dX(tr(AXB))=-(XBAX)-1-1-TT-Tod/dX(tr(AX))=d/dX(tr(XA))=-XAXTTT•d/dX(tr(AXB))=d/
