数值分析实习第二题.docx

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1、数值分析实习第二题一、算法设计方案1.采用C语言进行算法设计输出。2.由于矩阵A的为10×10的矩阵，所以采用双步位移的QR分解法求矩阵A的全部特征值。3.先对矩阵A进行初始化赋值。4.先采用Householder矩阵将矩阵A拟上三角化，得到矩阵A(n-1)。5.为了完成题目要求，减少运算次数，此时运行独立函数QR_UP_HE()另外声明3个10×10局部的二维数组变量Q，R，RQ对A(n-1)进行一次QR分解，得到相对应的矩阵Q，R和乘积矩阵RQ，用于输出。6.之后开始用双步位移法求解矩阵A的特征值。在求解过

2、程中，遇到解一元二次方程组，采用数组S_Re[2]来存根的实数部分，用数组S_Im[2]来存根的虚数部分，用公式r=s2±s24-t来求解方程x2-sx+t=0。QR分解时候选用精度ε=10-12，不限制最大迭代次数。7.将双步位移的判断逻辑进行合理设定如下：1）变量m从9（采用10维数组）开始循环运算，当m小于零的时候即认为QR分解完成，结束循环。2）先判断m是否为零，若为零，那么A[0][0]即为最后一个特征值，结束循环。否则继续。3）之后判断A[m][m-1]的绝对值是否小于精度要求，若小于，则认为A[m

3、][m]即为其中一个特征值，运算维数降为m–1，跳过这次循环。否则继续。1）此时求二阶子阵Dk=A[m-1][m-1]A[m-1][m]A[m][m-1]A[m][m]的两个特征值s1和s2。2）此时如果m=1，那么这就是A剩下的最后两个特征值，结束循环。否则继续。3）如果A[m-1][m-2]的绝对值小于精度要求，那么即可判断s1和s2是A的其中两个特征值，运算维数降为m–2，跳过这次循环。否则继续。4）上述判断完之后，即可开始用双步位移的QR分解法循环求A得全部特征值了。1.全部特征值求得后，将其打印出来，

4、之后开始求A的相应于实特征值的特征向量。特征向量采用解方程组(λI-A)X=0的方法进行，先用Gauss列主元的方法，将A上三角化。由于b为0，所以不用记录A对角化过程中的行交换的次序。2.在反解X的过程中，需先判断A的行是否全为0（即小于一个精度值，程序中精度值定为ε=10-9，取太小会导致程序判断出错，从而得出错误的特征值）。若最后一行不为零，则对特征向量X的最后一个值赋1，即X=[0,0,0,…,0,1]，若倒数第二行也不为零，则对特征向量X的倒数第二行的值也赋1，以此类推。3.之后回代X，得到其中的一个

5、特征向量X。然后将其归一化，即可输出。一、运算结果1.矩阵经过拟上三角化后得到的矩阵1.进行QR分解后所得到的矩阵Q、R和乘积矩阵RQ1.矩阵的全部特征值1.相应于特征值的特征向量一、源程序#include#include#include#defineEPS1.0e-12#defineN10doubleA[N][N];doubleLambda_Re[N];doubleLambda_Im[N];voidINI_A(void)//矩阵A进行赋值{chari,j;

6、for(i=0;i

7、charRow,charStr,charEnd,doubleMat[][N])//求矩阵A中列向量的模{charn;doublenorm;for(n=Str,norm=0;n

8、ector_2[n]*Vector_2[n]);}return(sqrt(norm_2));}charSP_SGN(doubles)//取符号{if(s>0){return(1);}else{return(-1);}}doubleVECT_T_VEC(charMax_N,doubleVector_T[],doubleVector[])//向量转置乘向量{charn;doublepowe