（江苏专用）2021高考数学二轮复习 课时达标训练（二十） 函数与导数的综合问题.doc

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1、整理于网络可修改课时达标训练(二十)函数与导数的综合问题A组——大题保分练1．(2020-2021·南通等七市二模)已知函数f(x)＝2lnx＋x2－ax，a∈R.(1)当a＝3时，求函数f(x)的极值．(2)设函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)，若函数y＝f(x)－g(x)是(0，＋∞)上的增函数，求x0的值．(3)是否存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由．解：(1)当a＝3时，f(x)＝2lnx＋x2－3x(x>0)，f′(x)＝＋x－3＝，令f′(x)＝0得，x＝1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示，x(0，1

2、)1(1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－，极小值为f(2)＝2ln2－4.(2)依题意，知切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)(x0>0)，从而g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)(x0>0)，记p(x)＝f(x)－g(x)，则p(x)＝f(x)－f(x0)－f′(x0)(x－x0)在(0，＋∞)上为增函数，所以p′(x)＝f′(x)－f′(x0)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p′(x)＝－＋x－x0≥0在(0，＋∞)上恒成立，即x＋≥x0＋在(0，＋∞)上恒成立，因为x＋≥2＝2(当且仅当x＝

3、时，等号成立)，所以2≥x0＋，从而(x0－)2≤0，所以x0＝.(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，15整理于网络可修改不妨设0

4、①令t＝，由0p(1)＝0.从而①式不可能成立，所以假设不成立，即不存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点．2．(2020-2021·苏北三市期末)已知函数f(x)＝(x－a)lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3)若函数f(x)存在两个极值点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围．解：(1)因

5、为f(x)＝(x－a)lnx(a∈R)，所以当a＝1时，f(x)＝(x－1)lnx，则f′(x)＝lnx＋1－，当x＝1时，f(1)＝0，f′(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝0.(2)因为对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，所以当lnx＝0，即x＝1时，f(x)＝0，a∈R；当lnx>0，即x>1时，x≥a恒成立，所以a≤1；当lnx<0时，即0

6、.当a≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多一个零点，不合题意．当a<0时，因为x∈(0，－a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x∈(－a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(－a)＝ln(－a)＋2.因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(－a)＋2<0，解得－e－2e2>－a.因为g＝ln＋a2＋1>0，所以g(x)在(－a，＋∞)上存在一个零点．因为－e－2

7、所以y>2ln＋e2＋1＝e2－3>0，所以g(a2)＝lna2－＋1>0，所以g(x)在(0，－a)上存在一个零点．综上可知，实数a的取值范围为(－e－2，0)．3．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2>3a；(3)若f(x