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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情况设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）两个负根即两根都小于0
2、两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，x0,x20x0,x0一个大于0x0x2112100bbf00002a2af00f0000bbf00002a2af00f0000bbaf00002a2aaf00af001分布情况大致图象（a0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯表二：（两根与k的大小比较）两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2kkk得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不
3、讨论a）00bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2aafk0afk0fk0fk0afk02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯表三：（根在区间上的分布）分两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内，另一根在p,q布两根都在情m,n内（图象有两种情况，只画了一种）内，mnpq况大致图象（a0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn0fp0或0的fpfq结bfq0论mn2a大致图象（a0）0fm0得fm0
4、fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（——————fmfn0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满足的条件是3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）afm0（2）afm00时，n0；0时，n0ff对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：1若fm0或fn0，则此时f
5、mfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为2，由123得2mmm2即为所求；32方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程22m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3f0即x4mx
6、014m15m30得出3m15；②由0即16m242m60得出m1或m3，当14332m1时，根x23,0，即m1满足题意；当m33,0，故m时，根x不满足题意；22综上分析，得出315或m1m14根的分布练习题例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2m1f00即2m1m10m1即为所求的范围。，从而得12例2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7、⋯⋯解：由028m0m1m322或m322m1m10m022m0f000m322或m322即为所求的范围。例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由m2f10即m22m1021即为所求的范围。m2例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f1043m10m1即为所3求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验
8、，均不复合题意，计算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式=b2-4ac，当＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
