二次函数根的分布和最值(好)

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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根

2、都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）——————根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是（1）时，；（2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。例如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，

3、此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。例如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或根的分布练习题例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。答案例1解：由即，从而得即为所求的范围。例2解：由或即为所求的范围。例

4、3解：由即即为所求的范围。例4解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．图像为观察图象不难知道△=0

5、，a＞0　,△=0，a＜0当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情

6、况：②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑三、好题解给你预习题1.设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根

7、小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？例2.当m为何值时，方程有两个负数根？例3.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？例4．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．例5．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.例6．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．例7．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋