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《二次函数根的分布和最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情况设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，x10,x20x10,x20一个大于0x10x200bbf00002a2af00f0000bbf0
2、0002a2af00f0000bbaf00002a2aaf00af00）分布情况大致图象（a0）表二：（两根与k的大小比较）两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2kkk得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a00bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2aafk0afk0fk0fk0afk0）表三：（根在区间上的分布）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（两根都在两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内，另一根在p,qm,n内内，mnpq（图象
3、有两种情况，只画了一种）0fm0fm0fn0fmfn0fn0fmfn0fp0或0fpfqbnfq0m2aa0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（——————fmfn0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满足的条件是（1）afm0（2）afm00时，n0；0时，n0ff对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：1若fm0或fn0，则此时fmfn0不成立，但对于
4、这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为2，由123得2mmm2即为所求；32方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3f0即014m15m30得出3m15；②由0即16m242m60得出m1或m3，
5、当143时，根x32m时，根x23,0，即m满足题意；当33,0，故不满足题意；11mm1522综上分析，得出3或m1m14根的分布练习题例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2m1f00即2m1m10m1即为所求的范围。，从而得12例2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由028m0m1m1m322或m3220m122m0m0f000m322或m322即为所求的范围。例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由m2f
6、10即m22m1021即为所求的范围。m2例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f1043m10m1即为所3求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式=b2-4ac，当＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1
7、＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．图像为观察图象不难知道△=0，a＞0,△=0，a＜0当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的
8、一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c
