二次函数根的分布和最值

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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情况设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2,相应的二次函数为fxax2bxc0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)分布情况大致图象(a0)得出的结论大致图象(a0)得出的结论综合结论(不讨论a表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,x10,x20x10,x20一个大于0x10x200bbf00002a2af00f0000bbf0

2、0002a2af00f0000bbaf00002a2aaf00af00)分布情况大致图象(a0)表二:(两根与k的大小比较)两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k,一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2kkk得出的结论大致图象(a0)得出的结论综合结论(不讨论a00bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2aafk0afk0fk0fk0afk0)表三:(根在区间上的分布)分布情况大致图象(a0)得出的结论大致图象(两根都在两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内,另一根在p,qm,n内内,mnpq(图象

3、有两种情况,只画了一种)0fm0fm0fn0fmfn0fn0fmfn0fp0或0fpfqbnfq0m2aa0)0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论(——————fmfn0不fpfq0讨论a)根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间m,n外,即在区间两侧x1m,x2n,(图形分别如下)需满足的条件是(1)afm0(2)afm00时,n0;0时,n0ff对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况:1若fm0或fn0,则此时fmfn0不成立,但对于

4、这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间m,n内,从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根,因为f10,所以mx2m2x2x1mx2,另一根为2,由123得2mmm2即为所求;32方程有且只有一根,且这个根在区间m,n内,即0,此时由0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程x24mx2m60有且一根在区间3,0内,求m的取值范围。分析:①由f3f0即014m15m30得出3m15;②由0即16m242m60得出m1或m3,

5、当143时,根x32m时,根x23,0,即m满足题意;当33,0,故不满足题意;11mm1522综上分析,得出3或m1m14根的分布练习题例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根,求实数m的取值范围。解:由2m1f00即2m1m10m1即为所求的范围。,从而得12例2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根,求实数m的取值范围。解:由028m0m1m1m322或m3220m122m0m0f000m322或m322即为所求的范围。例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围。解:由m2f

6、10即m22m1021即为所求的范围。m2例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。解:由题意有方程在区间0,1上只有一个正根,则f0f1043m10m1即为所3求范围。(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内,由0计算检验,均不复合题意,计算量稍大)1.二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),判别式=b2-4ac,当>0时y=f(x)与x轴有二交点;当=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当<0时,y=f(x)与x轴无交点.当>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x1

7、<x2.一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.观察图象不难知道.图像为观察图象不难知道△=0,a>0,△=0,a<0当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为观察图象不难知道.a>0时,绝对不等式f(x)>0解为x∈R.a<0时,绝对不等式f(x)<0解为x∈R.2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种:(1)应用求根公式;(2)应用根与系数关系;(3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性.就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的

8、一种方法.设f(x)=ax2+bx+c

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