小学数学等差数列求和专项讲义.doc

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1、等差数列求和（一）一、知识要点数列：若干个数排成一列称为数列。项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项列表分析找规

2、律：项数12345……n和第一项的差0481216……（n-1）×4每一项的计算33+1×43+2×43+3×43+4×4……3+（n-1）×4总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差所以，第100项=3+（100－1）×4=399.练习1：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.总结例1

3、：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1所以，项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。练习2：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析：如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3

4、.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100=（1+2+3+…+99+100+100+99+98+…+2+1）=（1+100）×100÷2=5050总结发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。练习3：计算下面各题。（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75

5、（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。分析：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.练习4：计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）分析：容易发现，被减数与减数都

6、是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50练习5：用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1

7、+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）等差数列求和（二）一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？分析：根据条件“他每天读的页数都比前

8、一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……