专题十七--滚动的圆与圆面覆盖问题.doc

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1、专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题．这类问题有下列基本情形：1．圆沿直线无滑动地滚动如图①，半径为的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为则圆滚动的圈数为2．圆沿折线无滑动地滚动如图②，半径为的圆沿拐角的外部滚动，圆心0运动的路线为：线段（以点B为圆心，为半径，圆心角为线段如图③，半径为的圆沿拐角的内部滚动，圆．心O运动的路线为：线段线段3．圆沿曲线无滑动地滚动二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否盖得住的问题，这就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式

2、．解覆盖问题常用到以下性质：1．半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片．2．如果纸片G能覆盖区域F，那么纸片G的面积一定不小于区域F的面积．例题导航【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其中与水平面的夹角为(1)求出圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（结果保留π）；(2)当圆盘从点A滚到与BC开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少（精确到点拨：(1)圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC相切时，圆与AB、BC都相切，且在

3、中，可以求出BE，则圆心转过的路线是AE，在中根据已知条件求出BE就可以求出AE.解答：(1)∵圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为圆心经过的路线的长度是(2)当圆转动到与BC相切，停止的位置设为⊙与AB切于E，连接DE、DB，则在中，圆心经过的路线长约是点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性．【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图

4、痕迹，不写作法）；(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）；(3)某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图②所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由.点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，中转站建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求．解答：(1)如图③．(2)若三角形为锐角三角形，则其

5、最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．(3)此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由：是锐角三角形，∴其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙直线EG与⊙交于点E、M，则点G在⊙内，从而⊙也是四边形EFGH的最小覆盖圆．中转站建在△EFH的外接圆圆心点P即为所求，如图④所示．点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以

6、三角形最长动（直角或钝角所对的边）为直径的圆，【例3】如图①～⑤，⊙均做无滑动滚动，⊙⊙、⊙、⊙均表示⊙与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙的周长为阅读理解：(1)如图①，⊙从⊙的位置出发，沿AB滚动到⊙的位置，当时，⊙恰好自转1周；(2)如图②，相邻的补角是⊙O在外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙的位置旋转到⊙的位置，⊙绕点B旋转的角⊙O在点B处自转周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若则⊙0自转周；若则⊙0自转周，在阅读理解的(2)中，若则⊙O在点B处自转周；若则⊙0在点B处自转周；(2)如图③，⊙O以⊙的位置出发，在外部沿A-B-C滚动到⊙的位置，

7、00自转了周．拓展联想：(1)如图④，△ABC的周长为⊙从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为⊙从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙自转的周数．点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若则⊙自转2周；若则⊙自转周．在阅读理解的(2)中，若则⊙在点B处自转周；若⊙0在点B处自转周；(2)因为则⊙0自转（周）．拓展联想：由于三角形和多边形的外角和是则⊙