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1、第二十三讲锐角三角函数一、三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则sinA=,cosA=,tanA=.二、特殊角的三角函数值α30°45°60°sinα_________cosα_________tanα_________1三、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系:________.2.两锐角之间的关系:_____________.3.边角之间的关系:sinA=cosB=__,sinB=cosA=__,tanA=__,tanB=__.a2+b2=c2∠A+∠B=90°四、解直角三
2、角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_____的叫做仰角,在水平线_____的叫做俯角.上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和_________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=__;坡面与_______的夹角叫做坡角,记作α.所以i=__=tanα.水平宽度li水平面3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.锐角三角函数是一个比值. ()2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也
3、扩大3倍.()3.由cosα=,得锐角α=60°. ()√×√4.锐角α的正弦值随角度的增大而增大. ()5.锐角α的余弦值随角度的增大而增大. ()6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比. ()7.解直角三角形时,必须有一个条件是边. ()√××√考点一求三角函数值【例1】(2017·怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是 ( )世纪金榜导学号16104353【思路点拨】作AB⊥x轴于点B,先利用勾股定理计算出OA=5,然后在Rt△AOB中利用正弦的定义求解.【自主解答】选C.作AB⊥x
4、轴于点B,如图,∵点A的坐标为(3,4),∴OB=3,AB=4,∴OA==5,在Rt△AOB中,sinα=【名师点津】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.【题组过关】1.(2017·湖州中考)如图,已知在Rt△ABC中,∠
5、C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是 ( )2.(2017·金华中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是 ( )【解析】选A.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=再根据正切的定义,得tanA=3.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为 世纪金榜导学号16104354( )【解析】选A.设AC=a,则AB=a÷sin30°=2a,BC=a÷tan30°=a,BD=AB=2a.∴tan
6、∠DAC=4.(2017·泸州中考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵点E是边BC的中点,∴BE=BC=AD,∴△BEF∽△DAF,∴∴EF=AF,∴EF=AE,∵点E是边BC的中点,∴由矩形的对称性得:AE=DE,∴EF=DE,设EF=x,则DE=3x,∴DF=∴tan∠BDE=考点二特殊锐角三角函数值的应用【例2】已知α,β均为锐角,且满足=0,则α+β=________.【思路点拨】根据非负数的性质
7、求出sinα,tanβ的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.【自主解答】∵=0,∴sinα=,tanβ=1,又∵α,β均为锐角,∴α=30°,β=45°,则α+β=30°+45°=75°.答案:75°【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,余弦的分子分别是1,正切分别是(2)特殊值法:①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2;②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,
8、1,.【题组过关】1.(2017·天津中考)cos60°的值等于 ( )【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60°=.2.(2016·无锡中考)sin30°的值为 ( )【解析】选A.sin30°=3.(2017·六盘水中考)三角形的两边
