投针实验详解复习进程.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流一、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon）在1777年提出的“投针实验”。与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。二、系统建模“投针实

2、验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a；然后把一枚长为l(0

3、统仿真。所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。这里，设O为钢针中点，y为O点与最近平行线之间的距离，为钢针与平行线之间的夹角（）。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y和来模拟钢针投掷

4、结果。其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。如下图所示，如果y、l和满足关系式，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线的位置关系。三、基于MATLAB/SIMULNIK的仿真实验在系统模型基础上，我们可以绘制出程序的流程图如下所示。根据流程图，在MATLAB环境下可编写程序完成计算机系统仿真实验，在这里我们设定平行线之间的距离为，钢针长为，计算精度，这些参数可以根据实际情况做以修改，下面是仿真程序：%投针实验：计算机模拟

5、投针实验，计算圆周率%仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流clearformatlonga=40,L=30;n=0;k=0;pii=0;%主要参数值while(abs(pii-pi)>0.00001)%设置计算精度n=n+1;y=1/2*a*rand(1);%生成[0,a)区间的随机数q=pi*rand(1);%生成[0，180)区间的随机数if(y<1/2*L*sin(q))%判断钢针与平行线是否相交k=k+1;pii=2*L*n/(a*k);%计算圆周率enddis

6、p('此次实验情况:')disp('投掷次数:')disp(n)%显示投掷次数disp('相交次数:')disp(k)%显示钢针与平行线相交次数disp('实验结果:pi=')disp(pii)%显示计算出的圆周率值end通过程序中的注释可以很好的理解程序内容。程序运行时，将显示出每次的“投针实验”情况，即显示当前总投掷次数、钢针与平行线相交次数以及由此计算出来的圆周率值。当满足所设置的精度要求后，程序停止运行,此时显示出当钢针投掷276427次后，所计算出来的圆周率值满足精度要求，此时钢针与平行线相

7、交131984次，圆周率计算结果为3.14159670869196。当然，由于“投掷动作”具有随机性，因此每次“投针实验”的仿真结果不一定相同。为使计算结果更趋近于，可以减小误差的取值来提高计算精度，当然仿真时间也会随之变长。这里对投针实验的基本原理做一简单解释。首先，将一根钢丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a。可以想象得出，对于这样的圆圈来说，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流投掷结果不外乎有两种：一种是与一条平行线相交，一种是与相邻两根平行线相切，这

8、两种情况都将导致圆圈和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点数必为2n。然后，将圆圈拉直变成一条长为的钢针。显然，这样的钢针扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂得多，可能没有交点，有1个交点，2个交点，3个交点，4个交点。由于圆圈和拉直后的钢针的长度相同，根据机会均等的原理，当它们投掷次数足够多时，两者与平行线组交点的总数将是一样的。换句话说，当长度为的钢针扔下无穷多次后，与平行线相交的交点总数也为2n。最后，讨论钢针长为l的情形