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时间:2020-12-19
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1、精品好文档,推荐学习交流题目第八章圆锥曲线椭圆高考要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程知识点归纳1.定义:①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于
2、F1F2
3、,即),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(04、PF15、+6、PF27、=2a,8、PM29、+10、PM111、=,==e;(2),;12、(3)13、BF214、=15、BF116、=a,17、OF118、=19、OF220、=c;(4)21、F1K122、=23、F2K224、=p=,3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式和其中椭圆的焦点坐标是,离心率是,准线方程是,通径的长是焦准距(焦点到准线的距离)仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流,焦参数(通径长的一半)范围:,,长轴长=,短轴长=2b,焦距=2c,焦半径:,.4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c,有关角()结合起来,建立+、等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元:;题型讲解例1求中心在原点,一个焦点为且被直25、线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.解:设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以由得,(点差法)所以又注:当题目中的已知和结论为弦的中点、斜率时经常使用点差法例2已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流分析:求椭圆的离心率,即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值,因此只需把a、c用同一量表示,由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=b.解:设椭圆方程为26、+=1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,则P(-c,b),即P(-c,).∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=.∴b=c.又∵a==b,∴e===.点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例3如下图,设E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ.分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设27、PF128、=r1,29、PF230、=r2,则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决.证明:设31、PF132、=33、r1,34、PF235、=r2,则S=r1r2sin2θ,又36、F1F237、=2c,由余弦定理有(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.所以r1r2=.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.点评:①解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合38、PF139、+40、PF241、=2a来解决.②我们设42、想点P在E上由A向B运动,由于△PF1F2的底边F1F2为定长,而高逐渐变大,故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角,故2θ∈(0,π),θ∈(0,).这样,θ也逐渐变大,当P运动到B时,∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题,例4若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为.OA⊥OB,易得a、43、b的两个方程.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,).由,∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.∴=,=1-=.∴M(,).∵kOM=,∴b=a.①∵OA⊥OB,∴·=-1.∴x1x2+y1y2=0.∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-+=.∴+=0.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流∴a+b=2.②由①②得a=2(-1),b=2(-1).∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,44、即设出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.直曲联立的
4、PF1
5、+
6、PF2
7、=2a,
8、PM2
9、+
10、PM1
11、=,==e;(2),;
12、(3)
13、BF2
14、=
15、BF1
16、=a,
17、OF1
18、=
19、OF2
20、=c;(4)
21、F1K1
22、=
23、F2K2
24、=p=,3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式和其中椭圆的焦点坐标是,离心率是,准线方程是,通径的长是焦准距(焦点到准线的距离)仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流,焦参数(通径长的一半)范围:,,长轴长=,短轴长=2b,焦距=2c,焦半径:,.4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c,有关角()结合起来,建立+、等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元:;题型讲解例1求中心在原点,一个焦点为且被直
25、线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.解:设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以由得,(点差法)所以又注:当题目中的已知和结论为弦的中点、斜率时经常使用点差法例2已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流分析:求椭圆的离心率,即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值,因此只需把a、c用同一量表示,由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=b.解:设椭圆方程为
26、+=1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,则P(-c,b),即P(-c,).∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=.∴b=c.又∵a==b,∴e===.点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例3如下图,设E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ.分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设
27、PF1
28、=r1,
29、PF2
30、=r2,则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决.证明:设
31、PF1
32、=
33、r1,
34、PF2
35、=r2,则S=r1r2sin2θ,又
36、F1F2
37、=2c,由余弦定理有(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.所以r1r2=.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.点评:①解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合
38、PF1
39、+
40、PF2
41、=2a来解决.②我们设
42、想点P在E上由A向B运动,由于△PF1F2的底边F1F2为定长,而高逐渐变大,故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角,故2θ∈(0,π),θ∈(0,).这样,θ也逐渐变大,当P运动到B时,∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题,例4若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为.OA⊥OB,易得a、
43、b的两个方程.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,).由,∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.∴=,=1-=.∴M(,).∵kOM=,∴b=a.①∵OA⊥OB,∴·=-1.∴x1x2+y1y2=0.∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-+=.∴+=0.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档,推荐学习交流∴a+b=2.②由①②得a=2(-1),b=2(-1).∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,
44、即设出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.直曲联立的
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