围道积分培训资料.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流工程数学II课程教案授课时间：第周周第节课时安排课次__授课方式（请打√）：理论课□讨论课□实验课□习题课□综合课□其他□授课题目（教学章、节或主题）：§5.3留数在定积分计算上的应用．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟悉留数在定积分计算上的应用．教学重点及难点：重点：应用“围道积分法”计算了三类实积分．难点：应用“围道积分法”计算了三类实积分．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§5.3留数在定积分计算上的应用留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定

2、理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。如图，对于实积分，变量x定义在闭区间[a,b](线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：。1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周

3、z

4、=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆

5、z

6、=

7、1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.[解]由于0

8、z

9、=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.例2计算的值.解令例3解仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流。2.形如的积分当被积函数R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R(x)在实轴上没有

10、孤立奇点时,积分是存在的.不失一般性,设为一已约分式.取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx例4解。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流例5解3.形如的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理的一样,由于m-n³1,故对充分大的

11、z

12、有因此,在半径R充分大的CR上,有也可写为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好

13、文档，推荐学习交流z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1例6计算的值.[解]这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例7计算积分的值.[解]因为是偶函数,所以，为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流由柯西积分定理令x=-t,则有CrCRyxO-rrR-R因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流j(z)在z=0处解析,且j(0)

14、=i,当

15、z

16、充分小时可使

17、j(z)

18、£2,由于而在r充分小时,例题8[解]。。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11精品好文档，推荐学习交流。作业和思考题：第五章习题　132),4),6)．课后小结：本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.1、《论语》十二章春秋孔子弟子及再传弟子子曰：“学/而时习之，不亦/说乎？有朋/自远方来，不亦/乐乎？人不知/而不愠，不亦/君子乎？”—《学而》曾子曰：“吾日/三省吾身：为人谋/而不忠乎？与朋友交/而不信乎？传/不习乎？”—《学而》子曰：“吾十有五/而志于学，三十/而立，四十/而不

19、惑，五十/而知天命，六十/而耳顺，七十/而从心所欲，不逾矩。”—《为政》子曰：“温故/而知新，可/以为师矣。”—《为政》子曰：学而不思/则罔，思而不学/则殆。—《为政》子曰∶“贤哉，回也！一箪食，一瓢饮，在陋巷，人/不堪其忧，回也/不改其乐。贤哉，回也！”—《雍也》子曰：“知之者/不如好之者，好之者/不如乐之者。”—《雍也》子曰：“饭疏食/饮水，曲肱/而枕之，乐/亦在/其中矣。不义/而/富且贵，于我/如浮云。”—《述而》子曰：“三人行,必有/我师焉。择其善者/而从之，其不善者/而改之。”—《述而》子在川上曰：“逝者/如斯夫，不舍/昼夜。”