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1、一次函数专题讲义一次函数的实例概述一次函数（linearfunction），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。数学术语 函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。基本定义 变量：变化的量常量：不变的量 自变量x和X的一次函数y有如下关系： y=kx+b（k为任意不为零常数，b
2、为任意常数） 当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数。 x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。相关性质 函数性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b为常数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b). 3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴
3、正方向夹角,Θ≠90°)4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。 图像性质1．作法与图形：通过如下３个步骤 （1）列表[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b，0与b）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等
4、式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比) 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当k<0,b<0,
5、这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k＜0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）表达式 解析式类型①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例
6、函数b=0③y-y1=k(x-x1)[点斜式]k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点④[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） ⑤[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 解析式表达局限性： ①所需条件较多（3个）； ②不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合） ③不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。倾斜角的概念：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tan(a)。倾斜角的范围（0，π）常用公式 1.求函数图像的k值
7、：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：
8、x1-x2
9、/2 3.求与y轴平行线段的中点：
10、y1-y2
11、/24.求任意线段的长（即两点之间距离公式）： 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解由两个一次函数式组成的方程组 6.求任意2点所连线段的中点坐标：[]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：[两点式] 8.若两条直线平行：y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k
