复数项级数和复数序列.doc

《复数项级数和复数序列.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章级数第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里，是复数，一般简单记为。按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。设是一个复常数。如果任给，可以找到一个正数N，使得当n>N时,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作。如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。令，其中a和b是实数。由不等式容易看出，等价于下列两极限式：因此，有下面的注解：注解1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。注解2、复数序列也可

2、以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当n>N时，在这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。复数项级数就是或记为，或，其中是复数。定义其部分和序列为：如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么我们说级数发散。注解1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数

3、项级数如下则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。注解2、级数收敛于的定义可以叙述为：，注解3、如果级数收敛，那么注解4、令，我们有因此，级数收敛（于）的必要与充分条件是：级数收敛（于a）以及级数收敛（于b）。注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正整数N，使得

4、当m及n>N，对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数收敛，我们称级数绝对收敛。注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是：级数以及绝对收敛：事实上，有注解2、若级数绝对收敛，则一定收敛。例、当时，绝对收敛；并且有我们有，当时，如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数也绝对收敛，并且它的和为。