复数概念和运算

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1、复数的概念和运算内容：　　1．复数的有关概念虚数单位I；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.　　2．复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释要求：对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，并能利用这些知识解决简单问题.对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识解决有关问题.例1．2n-3+2n-1+2n+1+2n+3的值为（）.A、-2B、0C、2D、4分析与解答：法一：原式法二：原式法三：视为等比数列，原式.选B.

2、几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了的运算的周期性：　　，例2．设z1,z2为复数，那么是z1,z2同时为零的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件分析与解答：若z1,z2同时为零，则成立；而当时，就不一定z1,z2同时为零.　　　　如：当z1=i,z2=1时，故选B.注意在复数集中不能套用实数集中的性质.例3．下面命题中正确的是（）.A、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B、复数a+b=c+d的充要条件是a=c,b=d.C、如果让实数a与纯虚数a对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.D

3、、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.分析与解答：A、否定：因为复数≠虚数，如z=3,,∴不是纯虚数.　　B、a,b,c,d应为R，否则不成立，因此否定.　　C、否定：a=0时，a=0不是纯虚数.D、正确，虚轴不包括原点.例4．已知：，求复数z.分析与解答：设z=a+b(a,b∈R)，由已知有，3整理为，根据复数相等，有由(2)得b=-3代入(1)得a=4或.经检验舍去，∴z=4-3.注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因此必须验根.例5．设z∈c，且

4、z

5、=2,求的最小值和最大值.分析与解答

6、：法一：，又∵

7、z

8、=2,,∴，因此的最小值为0，最大值为4.此法利用的是复数模的性质：

9、

10、z1

11、-

12、z2

13、

14、≤

15、z1+z2

16、≤

17、z1

18、+

19、z2

20、.请问，你知道等号成立的条件吗？法二：利用复数减法的几何意义：

21、z

22、=2是以原点为圆心，2为半径的圆.

23、表示此圆上的点到点的距离，由图知：∵M就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M点的直径的另一端M'处，

24、MM'

25、=2R=4，得最远距离为4.此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.例6．当时，求z100+z50+1的值.分析与解答：由得，∴4=-1.则z100+z50+1=(-1)25+

26、(-1)12(-)+1=-.例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.(1)是实数，且.(2)z的实部和虚部都是整数.分析与解答：由题,设z=x+yi(x,y∈Z且x2+y2≠0),则∵是实数，∴虚部，∴y=0或，3　　又∵，∴……①　　(1)当y=0时①式化为,x<0时，，无解.x>0时，无解.　　(2)当x2+y2=10时，①式可化为1<2x≤6,∴,又∵x,y∈Z,∴x=1,x=2,x=3.∴因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是：.3