东北大学数值分析 总复习+习题教学文稿.ppt

《东北大学数值分析 总复习+习题教学文稿.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、东北大学数值分析总复习+习题3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。三、解线性方程组的迭代法1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛.（4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.2.掌握并会应用迭代法的误差

2、估计式。四、解非线性方程的迭代法1.了解二分法的思想,误差估计式

3、xk-

4、2-(k+1)(b-a).2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。定理若(x)为I上的压缩映射,则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.推论若1.a(x)b;2.

5、(x)

6、L<1,x[a,b].则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.3.了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解New

7、ton迭代法的变形.(1)xkp阶收敛于是指:推论若(x)在附近具有一阶连续导数,且

8、()

9、<1,则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.(2)若()0,则迭代法线性收敛.局部平方收敛.五、矩阵特征值问题1.了解Gerschgorin圆盘定理,会估计特征值.1.了解差商的概念和性质.2.了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.六、插值与逼近Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。2.会建立插值多项式并导出插值余项.3.了解分段

10、插值及三次样条插值的概念及构造思想。4.了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。5.掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。七、数值积分3.了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。4.了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。1.了解构造数值解法的基本思想及概念。八、常微分方程数值解法2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，

11、会求差分公式的局部截断误差。3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。一、填空题（每空3分,共30分)考试题解析解由于得特征值:又A-1=2.设矩阵A=,当a取______值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵.1.设矩阵A=,则(A)=_______,Cond(A)1=_______.,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7.解令解只要取(x)=x3-a,或(x)=1-x3/a.5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问

12、x1

13、+

14、2x2

15、+

16、x3

17、是不

18、是一种向量范数______,而

19、x1

20、+

21、2x2+x3

22、是不是一种向量范数_____.是不是4.求的Newton迭代格式为_______________________.16.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则=____________.(x-2)37.设S(x)=是以0,1,2为节解(1)因为00,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当10,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.点的

23、三次样条函数,则b=________c=_________.解由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1(1)试证方程(x)=0有唯一正根;(2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根;(3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.-23(2)构造迭代格式:由于

24、(x)

25、=

26、

27、<1,故此迭代法收敛.(3)因为0<</2,所以()取初值x0=1.5,计算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于

28、x2-x1

29、=0.0035<10

30、-2,故可取根的近似值x2=1.40983.0故,此迭代法线