数值分析讲义(东北大学)习题选讲

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1、1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.一.习题1（第10页）解绝对误差限分别为:1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104.相对误差限分别为:r1=0.510-3/5.420=0.00923%,r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.有效数位分别为:4位,4位,3位,4位,1位.1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.0

2、05,试问它们有几位有效数字.a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032解有效数位分别为:3位,1位,0位.1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5101-n,于是有r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01%因此只需n=5.即取101/2=3.1623解x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.0178631-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有效数字2-2(1).用列主元G

3、auss消元法解方程组解二.习题2(第50页)回代得解:x3=1,x2=-1,x1=02-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中解，所以2-4.对矩阵A进行LDM分解和Crout分解，其中解2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组Ax=b，其中解2-6(1).给定方程组a.用Cramer法则求其精确解.b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).解a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899b.用Gauss消元法2-8.用追赶法求解方程组:回代得解:y=1,x=0.再用列

4、主元Gauss消元法回代得解:y=1,x=1.解2-10.证明下列不等式:(1)x-yx-z+z-y;(2)

5、x-y

6、x-y;证明(1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y(2)因为x=(x-y)+yx-y+y所以x-yx-y,同理可证y-xx-y于是有

7、x-y

8、x-y.2-11.设为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp=Px,证明xp也是一种向量范数.证

9、明(1)xp=Px0,而且Px=0Px=0x=0(3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp(2)xp=P(x)=Px=

10、

11、Px=

12、

13、xp所以xp是一种向量范数.2-12.设A为对称正定矩阵,定义xA=,证明A是一种向量范数.证明由Cholesky分解有A=GGT,所以xA=GTx2,由上题结果知xA是一向量范数.2-16.对任意矩阵范数,求证:证明(1)因为A=AE

14、AE,所以E1.(2)1E=AA-1AA-1,故2-17.证明:(1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值.证明(1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1.(2)A对称正定,ATA=A2,A2=1.A-12=1/n.(3)A-1-B-1=A-1(B-A)B-1A-1B-1A-B三.习题3(第75页)3-2.讨论求解方程组

15、Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中解(1)J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为(B)=,(G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.(2)类似可得(B)=0,(G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T,x(1)-x(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才