计数原理知识点题型小结.doc

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1、第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，，那么，完成这件工作共有种不同方法。3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用

2、加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如的问题。例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者

3、有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题例3:用五种不同的颜料给4块（ABCD）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：二、排列1.排列的定义：一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从个元素中取出（）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合表示.4.排列数公式：从n个不同元素中取出m（

4、）个元素的排列数5.全排列：从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为6.n的阶乘定义：用表示。规定：0！=注：1！=2！=3！=4！=5！=6！=例1计算：⑴;⑵;⑵7.解决排列问题的基本方法类型一：直接法和间接法例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用求解；间接法的步骤：类型二：排列问题(无限制

5、条件的和有限制条件的)例2：有4名男生，3名女生排成一排（1）有多少种排列方法？（2）若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？（3）若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？（4）若甲只能在中间或者两端？（5）甲乙必须在两端呢？（6）甲不站排头，乙不站排尾呢？（7）若3名女生必须排在一起（8）若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？（10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？（11）若甲乙间恰有两人？小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑

6、，然后在考虑；位置分析法——即优先考虑，再考虑小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列，此法称为“”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“”等.练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数三、组合1组合的定义：一般地，从个元素中取出个元素一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2.排列和组合的区别和联系？相同点：不同点：3.组合数

7、的概念：从个元素中取出个元素的组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示4.与的关系为：==5：组合数公式：＝＝这里的m、n满足的条件是6：用阶乘表示=我们规定：7.组合数的性质一：8.常见的题型：类型一：计算例1：；；；；例2：解方程：已知=，求n=?例3：解不等式：>类型二：没有限制条件的组合问题例3：（1）.若8名学生每2人互通一次电话，共通次电话．（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同的商，则：=.（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过