直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳.docx

《直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳[典例]　(2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.[解析]　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.[答案]　C[解题技法]1．用“点

2、差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[题组训练]1．已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)A．9x＋y－5＝0B．9x－y－4＝0C．x＋9y－5＝0D．x－9y＋4＝0解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝

3、1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.2．焦点为F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故

4、所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1[典例]　(2018·北京高考节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求

5、AB

6、的最大值．[解]　(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

7、AB

8、＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，

9、AB

10、最大，最大值为.

11、[解题技法]　弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

12、AB

13、＝＝(k为直线斜率)．[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且

14、AB

15、＝，则实数m的值为(　　)A．±1　　　　　　　　　B．±C.D．±解析：选A　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)

16、，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得

17、AB

18、＝＝＝，解得m＝±1.2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，由得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝，y2＝－.所以S

19、△ABF2＝c·

20、y1－y2

21、＝1×＝.[典例]　(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，则Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，

22、所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.[解题技法]　解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．[题组训练]1．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，