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1、平面向量的综合应用考点与题型归纳[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，
2、
3、＝12，
4、
5、＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )A．20 B．15C．36D．6[解析] 法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－，所以·＝·＝·＝＝＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36
6、，故选C.[答案] C[题组训练]1．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即
7、
8、＝
9、
10、，∴△ABC是等腰三角形．2．(2018·西安质检)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，
11、
12、＝
13、
14、＝
15、
16、＝2，则△ABC的面积等于( )A.B．2C．3D．4解析：选B 由
17、
18、＝
19、
20、得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝
21、－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由
22、
23、＝2，
24、
25、＝1可得
26、
27、＝，则
28、
29、＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.3.如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在弧AB上，则·的最小值为________．解析：如图，以O为坐标原点，为x轴的正半轴，为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1,0)，B(0,2)，设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈，所以·＝(1－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，2－2sinθ)＝4－2cosθ－4sinθ＝4－2(cosθ＋2sinθ)＝4－2sin(θ＋φ)，所以·的最
30、小值为4－2.答案：4－2[典例] (2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解] (1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx．则tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取
31、到最小值－2.[题组训练]1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0，可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案：2x＋y－3＝02．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析：由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)
32、，则有＋＝1，解得y＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.答案：6[典例] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则
33、＋＋
34、的最大值为( )A．6 B．7C．8D．9[解析] 由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，知线段AC为圆的直径，设圆心为O，故＋＝2＝(－4,0)，设B(a，b)，则a2＋b2＝1且a∈[－1,1]，＝(a－2，b)，所以＋＋＝
35、(a－6，b)．故
36、＋＋
37、＝，所以当a＝－1时，
38、＋＋
39、取得最大值＝7.[答案] B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．(2019·南昌模
