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《2021届新高考数学二轮复习易错题04 导数及其应用（解析word版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、易错点04导数及其应用【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本
2、不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将,令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴
3、∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.【易错警示】易错点1．误解导函数与单调区间的关系【例1】是在区间的导函数，则“在区间内”是“在该区间内单调递增”的________条件．【错解】充要【错
4、因】一般地，由能推出为增函数，反之，则不一定．如函数在区间上单调递增，但是，因此是函数为增函数的充分不必要条件．【正解】充分不必要易错点2．误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【例2】函数在处有极值10，求的值．【错解】由解得．【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件．【正解】，依题意得，解得或，当时，，所以在处取得极值；当时，，此时在无极值．所以．易错点3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是【错解】选【错因
5、】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像，可得：当时，，当时，，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A．易错点4．遗忘复合函数求导公式【例4】函数的导数为．【错解】【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即．【正解】易错点5．切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线，过点作曲线的切线，求切线方程．【错解】由导数的几何意义知，所以曲线的切线方程为．【错因】点根本不在曲线上，忽视切点位置致错．【正解】设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，又因为点N在切线上，
6、所以，解得，所以切线方程为y=21x+32．注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上．易错点6．混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例6】求函数在[－3，3]上的最值．【错解】=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1），所以极值点为或，又∵=0，．所以函数最大值为，最小值为0．【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值．【正解】=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1），所以极值点为或，又∵=0，，所以函数最大值为12，最小值为－48．易错点7．
7、用错恒成立的条件【例7】已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围．【错解一】恒成立，∴△＝≤0恒成立解得的取值范围为；【错解二】∵若时，≥0恒成立，∴，即，解得的取值范围为．【错因】对二次函数＝“当上≥0恒成立时，△≤0”片面理解为“≥0，恒成立时，△≤0”；或者理解为．这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论．【正解】设的最小值为，（1）当，即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；（2）当，即－4≤≤4时，恒成立,故－4≤≤4；（3），即＜－4时，＝＝
8、7＋≥0，得≥－7，又＜－4，故－7≤＜－4；综上，得－7≤≤2．【变式练习】1.若函数在上为减函数，求实数的取值范围．【解析】由在上恒成立，∴当时，，满足题意；当
