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时间：2020-12-10
《大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数、微分及其应用训练一、（15分）证明：多项式无实零点。证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得（第4页（共4页）由此可得一、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有证明：当时，。证明：因为，设，则有因此当时，当时，。二、（15分）设函数是可微函数
2、，如果，证明：仅为的函数。证明：考虑球面坐标，其中，则有，因为（第4页（共4页）所以仅为的函数。一、（15分）设在点处可导，且。证明：证明：因为在点处可导，所以又因为，所以，由此可得二、(15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。证明：对任给的有。证明：任取数，构造函数因为，并且只有，所以任取正数，则有（第4页（共4页）利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有又因为，所以当时有，由的任意性可得对任给的有。（第4页（共4页）
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