高中生学习数学归纳法思维障碍和应对策略

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1、高中生学习数学归纳法思维障碍和应对策略　　(太湖高级中学江苏太湖214125)【摘要】数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要．然而，大多数学生对理解并掌握数学归纳法感到很困难．究其原因，学生对数学归纳法缺乏感性认识，也缺少认知基础，数学归纳法蕴涵的有限与无限、递归推理、归纳猜想等数学思想学生以前接触不多，更不用说理解了．本文主要从思维维度对高中生学习数学归纳法进行障碍分析，并在分析的基础上，提出相应的应对策略，帮助教师更深入地了解高中生学习数学归纳法认知障碍情况，以便教

2、师在教学过程中能更好地引导学生进行数学归纳法的学习．【关键词】高中生数学归纳法认知障碍应对策略1问题的提出在数学证明中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数的命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明．6本人长期担任理科班的教学，在实际教学中我发现学生对数学归纳法地理解不够透彻，不能熟练地将之运用于解题。本人申报了课题《高中生学习数学归纳法的认知障碍及应对策略》，分别从感知、记忆、思维三个维度进行研究，本文主要是从思维这个维度进行分析．2思维障碍分析思维是人脑对客观世界的概括的、间接的反映．思维是认知的高级形式，是智力活动的核心．观

3、察为思维提供有关当前事物、现象和过程的信息；记忆则为思维提供以往感知过的事物的表象；想象提供未能亲身感知到的事物的信息；注意则对思维进行调节和监控，保证思维的持续运转．思维则把感知等提供的大量的感性材料、具体事实等进行由表及里、去伪存真的加工改造，揭示出了事物的本质属性．2.1思维缺乏灵活性思维的灵活性是指思考问题时，能根据问题的条件的变化而变化．数学归纳法学习中思维缺乏灵活性表现在三个方面．一是在用数学归纳法解题时，受思维定势影响，常认为归纳基础就是1．6事实上：（1）数学归纳法公理中“n0”是使命题成立的最小正整数．例如，命题“多边形的内角和为(n-2)·1

4、80°”中，n的取值应当是大于或等于3的正整数，所以，用数学归纳法证明此命题的归纳基础应该是n0=3；命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中，当nn2成立的最小正整数为n0=5．因此在运用数学归纳法证明该命题时，应取归纳基础为n0=5．可见，在用数学归纳法解题时，灵活的根据题中的条件选择归纳基础是多么重要．数学归纳法学习中思维灵活性差的第二个方面表现为：对用和式(或积式)表示的命题，在第一步验证n=n0时，误认为取式子的前n0项(或前n0个因子)加以验证．例如：问12+cosa+cos3a+…+cos(2n-1)a=sin2n+12a

5、·cos2n-12asina是否对一切正整数n(n∈N*)都成立？有学生用数学归纳法解决本题，在验证归纳基础时是这么做的：当n=1时，左边=12，右边=sin32a·cos12asina=sin2a+sina2sina=12+cosa，可知原式不成立．正解：（用数学归纳法证明）①当n=1时，左边=12+cosa，右边=sin32a·cos12asina=sin2a+sina2sina=12+cosa，原式成立；（以下略）数学归纳法学习中思维灵活性差的第三个方面表现为：归纳步骤中没有注意命题形式应有的变化．例如：若自然数n≥2，试6证Sn=1n+1+1n+2+…+

6、12n>1324．错解：①当n=2时，S2=12+1+12+2=712>1324，原式成立；②假设当n=k时原式成立，即Sk=1k+1+1k+2+…+12k>1324，则当n=k+1时，有Sk+1=1k+1+1k+2+…+12k+12(k+1)>1324+12(k+1)>1324，原式也成立．根据①和②，可知对任意自然数n≥2原式成立．剖析：对所给的不等式，当n由k变为k+1时，Sk+1应该是1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+12k+12k+1+12(k+1)，而上述证明中，将n=k时式子的左端仅加上12(k+1)，就认为是n=k+1时式子的左端，这就造成

7、了错误．正解：①当n=2时，S2=12+1+12+2=712>1324，原式成立；②假设当n=k时原式成立，即Sk=1k+1+1k+2+…+12k>1324，则当n=k+1时，有Sk+1=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+12k+12k+1+12(k+1)=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12(k+1)=1k+1+1k+2+…12k+12k+1+12(k+1)-1k+1>1324+12(2k+1)(k+1)6即当n=k+1时，原式也成立．根据①和②，可知对任意自然数n≥2原式成立．2.2思维缺乏深刻性思维的深刻性是指，思维能透过现象看到事物的本

8、质，能更深入的思考问题，